Cálculo Exemplos

$t (x) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

$\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Etapa 1.1.2

Como $101$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $101$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{6} \cdot (1 - \frac{x}{6})]$

Etapa 1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{x^{2}}{6}$ e $g (x) = 1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{6}] + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{x}{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 1.2.6

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 1.2.8

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{6}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 1.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 1.2.11

Subtraia $\frac{1}{6}$ de $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (- \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 1.2.12

Multiplique $\frac{x^{2}}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{6 \cdot 6} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 1.2.13

Multiplique $6$ por $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 1.2.14

Combine $2$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{2}{6} x))$

Etapa 1.2.15

Combine $\frac{2}{6}$ e $x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{6})$

Etapa 1.2.16

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.16.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 (x)}{6})$

Etapa 1.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.16.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Etapa 1.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Etapa 1.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3})$

Etapa 1.2.17

Para escrever $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot \frac{36}{36})$

Etapa 1.2.18

Combine $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ e $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + \frac{(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36})$

Etapa 1.2.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36}$

Etapa 1.2.20

Combine $36$ e $\frac{x}{3}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{36 x}{3}}{36}$

Etapa 1.2.21

Cancele o fator comum de $36$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.1

Fatore $3$ de $36 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3}}{36}$

Etapa 1.2.21.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.21.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 (1)}}{36}$

Etapa 1.2.21.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 \cdot 1}}{36}$

Etapa 1.2.21.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{12 x}{1}}{36}$

Etapa 1.2.21.2.4

Divida $12 x$ por $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) (12 x)}{36}$

Etapa 1.2.22

Mova $12$ para a esquerda de $1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 (1 - \frac{x}{6}) x}{36}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + (12 \cdot 1 + 12 (- \frac{x}{6})) x}{36}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 \cdot 1 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $12$ por $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 12 \frac{x}{6} x}{36}$

Etapa 1.3.3.3

Combine $- 12$ e $\frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 12 x}{6} x}{36}$

Etapa 1.3.3.4

Cancele o fator comum de $- 12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1

Fatore $6$ de $- 12 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6} x}{36}$

Etapa 1.3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 (1)} x}{36}$

Etapa 1.3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 \cdot 1} x}{36}$

Etapa 1.3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 2 x}{1} x}{36}$

Etapa 1.3.3.4.2.4

Divida $- 2 x$ por $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x}{36}$

Etapa 1.3.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)}{36}$

Etapa 1.3.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})}{36}$

Etapa 1.3.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}}{36}$

Etapa 1.3.3.8

Some $1$ e $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}}{36}$

Etapa 1.3.3.9

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$0 - \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Etapa 1.3.3.10

Subtraia $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$ de $0$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Etapa 1.3.4

Fatore $3 x$ de $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Fatore $3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{3 x (- x) + 12 x}{36}$

Etapa 1.3.4.2

Fatore $3 x$ de $12 x$ .

$- \frac{3 x (- x) + 3 x (4)}{36}$

Etapa 1.3.4.3

Fatore $3 x$ de $3 x (- x) + 3 x (4)$ .

$- \frac{3 x (- x + 4)}{36}$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $3$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Fatore $3$ de $3 x (- x + 4)$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{36}$

Etapa 1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Fatore $3$ de $36$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Etapa 1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Etapa 1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x (- x + 4)}{12}$

Etapa 1.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{x (- (x) + 4)}{12}$

Etapa 1.3.7

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{12}$

Etapa 1.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x - 4))}{12}$

Etapa 1.3.9

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$- \frac{x (- 1 (x - 4))}{12}$

Etapa 1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{x (x - 4)}{12}$

Etapa 1.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{x (x - 4)}{12}$

Etapa 1.3.12

Multiplique $\frac{x (x - 4)}{12}$ por $1$ .

$\frac{x (x - 4)}{12}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x (x - 4)}{12}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x (x - 4)]$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x (x - 4))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 4$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + (x - 4) \cdot 1)$

Etapa 2.3.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $x - 4$ por $1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + x - 4)$

Etapa 2.3.6.2

Some $x$ e $x$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (2 x - 4)$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (2 x) + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{12}$ .

$t'' (x) = \frac{2}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Etapa 2.4.2.2

Combine $\frac{2}{12}$ e $x$ .

$t'' (x) = \frac{2 x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Etapa 2.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$t'' (x) = \frac{2 (x)}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Etapa 2.4.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$t'' (x) = \frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Etapa 2.4.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$t'' (x) = \frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Etapa 2.4.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Etapa 2.4.2.4

Combine $\frac{1}{12}$ e $- 4$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{- 4}{12}$

Etapa 2.4.2.5

Cancele o fator comum de $- 4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 (- 1)}{12}$

Etapa 2.4.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t'' (x) = \frac{x}{6} - \frac{1}{3}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x (x - 4)}{12} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Etapa 4.1.1.2

Como $101$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $101$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{6} \cdot (1 - \frac{x}{6})]$

Etapa 4.1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$

Etapa 4.1.2.3

$0 - (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{6}] + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 4.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{x}{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 4.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 4.1.2.6

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 4.1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Etapa 4.1.2.8

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{6}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 4.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 4.1.2.11

Subtraia $\frac{1}{6}$ de $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (- \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 4.1.2.12

Multiplique $\frac{x^{2}}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{6 \cdot 6} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 4.1.2.13

Multiplique $6$ por $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Etapa 4.1.2.14

Combine $2$ e $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{2}{6} x))$

Etapa 4.1.2.15

Combine $\frac{2}{6}$ e $x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{6})$

Etapa 4.1.2.16

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.16.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 (x)}{6})$

Etapa 4.1.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.16.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Etapa 4.1.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Etapa 4.1.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3})$

Etapa 4.1.2.17

Para escrever $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot \frac{36}{36})$

Etapa 4.1.2.18

Combine $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ e $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + \frac{(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36})$

Etapa 4.1.2.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36}$

Etapa 4.1.2.20

Combine $36$ e $\frac{x}{3}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{36 x}{3}}{36}$

Etapa 4.1.2.21

Cancele o fator comum de $36$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.21.1

Fatore $3$ de $36 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3}}{36}$

Etapa 4.1.2.21.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.21.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 (1)}}{36}$

Etapa 4.1.2.21.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 \cdot 1}}{36}$

Etapa 4.1.2.21.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{12 x}{1}}{36}$

Etapa 4.1.2.21.2.4

Divida $12 x$ por $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) (12 x)}{36}$

Etapa 4.1.2.22

Mova $12$ para a esquerda de $1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 (1 - \frac{x}{6}) x}{36}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + (12 \cdot 1 + 12 (- \frac{x}{6})) x}{36}$

Etapa 4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 \cdot 1 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Etapa 4.1.3.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $12$ por $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 12 \frac{x}{6} x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.3

Combine $- 12$ e $\frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 12 x}{6} x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.4

Cancele o fator comum de $- 12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.4.1

Fatore $6$ de $- 12 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6} x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.4.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 (1)} x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 \cdot 1} x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 2 x}{1} x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.4.2.4

Divida $- 2 x$ por $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)}{36}$

Etapa 4.1.3.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})}{36}$

Etapa 4.1.3.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}}{36}$

Etapa 4.1.3.3.8

Some $1$ e $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}}{36}$

Etapa 4.1.3.3.9

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$0 - \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Etapa 4.1.3.3.10

Subtraia $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$ de $0$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Etapa 4.1.3.4

Fatore $3 x$ de $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.4.1

Fatore $3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{3 x (- x) + 12 x}{36}$

Etapa 4.1.3.4.2

Fatore $3 x$ de $12 x$ .

$- \frac{3 x (- x) + 3 x (4)}{36}$

Etapa 4.1.3.4.3

Fatore $3 x$ de $3 x (- x) + 3 x (4)$ .

$- \frac{3 x (- x + 4)}{36}$

Etapa 4.1.3.5

Cancele o fator comum de $3$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Fatore $3$ de $3 x (- x + 4)$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{36}$

Etapa 4.1.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.2.1

Fatore $3$ de $36$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Etapa 4.1.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Etapa 4.1.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x (- x + 4)}{12}$

Etapa 4.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{x (- (x) + 4)}{12}$

Etapa 4.1.3.7

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{12}$

Etapa 4.1.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x - 4))}{12}$

Etapa 4.1.3.9

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$- \frac{x (- 1 (x - 4))}{12}$

Etapa 4.1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{x (x - 4)}{12}$

Etapa 4.1.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{x (x - 4)}{12}$

Etapa 4.1.3.12

Multiplique $\frac{x (x - 4)}{12}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{12}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $t (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x (x - 4)}{12}$ .

$\frac{x (x - 4)}{12}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (x - 4)}{12} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x (x - 4)}{12} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x (x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{0}{6} - \frac{1}{3}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida $0$ por $6$ .

$0 - \frac{1}{3}$

Etapa 9.2

Subtraia $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$t (0) = 101 - \frac{1}{6} \cdot ({(0)}^{2} (1 - \frac{0}{6}))$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$t (0) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{6}$ para o numerador.

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Etapa 11.2.1.2.2

Fatore $6$ de $0 (1 - \frac{0}{6})$ .

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (6 (0 (1 - \frac{0}{6})))$

Etapa 11.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (6 (0 (1 - \frac{0}{6})))$

Etapa 11.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$t (0) = 101 - 1 \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $0$ por $1 - \frac{0}{6}$ .

$t (0) = 101 - 1 \cdot 0$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$t (0) = 101 + 0$

Etapa 11.2.2

Some $101$ e $0$ .

$t (0) = 101$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $101$ .

$y = 101$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4}{6} - \frac{1}{3}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6} - \frac{1}{3}$

Etapa 13.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3}$

Etapa 13.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3}$

Etapa 13.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 1}{3}$

Etapa 13.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 14

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$t (4) = 101 - \frac{1}{6} \cdot ({(4)}^{2} (1 - \frac{4}{6}))$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$t (4) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Etapa 15.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{6}$ para o numerador.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Etapa 15.2.1.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Etapa 15.2.1.2.3

Fatore $2$ de $16 (1 - \frac{4}{6})$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot (2 (8 (1 - \frac{4}{6})))$

Etapa 15.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 (8 (1 - \frac{4}{6})))$

Etapa 15.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{3} \cdot (8 (1 - \frac{4}{6}))$

Etapa 15.2.1.3

Combine $8$ e $\frac{- 1}{3}$ .

$t (4) = 101 + \frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 8}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Etapa 15.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Etapa 15.2.1.6

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 (2)}{6})$

Etapa 15.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3})$

Etapa 15.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3})$

Etapa 15.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2}{3})$

Etapa 15.2.1.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (\frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 15.2.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 2}{3}$

Etapa 15.2.1.9

Subtraia $2$ de $3$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 15.2.1.10

Multiplique $- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{8}{3}$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3 \cdot 3}$

Etapa 15.2.1.10.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{9}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $101$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$t (4) = 101 \cdot \frac{9}{9} - \frac{8}{9}$

Etapa 15.2.3

Combine $101$ e $\frac{9}{9}$ .

$t (4) = \frac{101 \cdot 9}{9} - \frac{8}{9}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t (4) = \frac{101 \cdot 9 - 8}{9}$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $101$ por $9$ .

$t (4) = \frac{909 - 8}{9}$

Etapa 15.2.5.2

Subtraia $8$ de $909$ .

$t (4) = \frac{901}{9}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{901}{9}$ .

$y = \frac{901}{9}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $t (x) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$ .

$(0, 101)$ é um máximo local

$(4, \frac{901}{9})$ é um mínimo local

Etapa 17