Cálculo Exemplos

$r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

Etapa 1.1.2

Combine $\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 40000 + \frac{10000 x}{3}$ e $g (x) = 30 - x$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $30 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.3

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30$ em relação a $x$ é $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.7

Como $40000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40000$ em relação a $x$ é $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.8

Como $\frac{10000}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10000 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.11

Subtraia $1$ de $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.12

Mova $- 1$ para a esquerda de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.13

Reescreva $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ como $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.14

Multiplique $\frac{10000}{3}$ por $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.2.15

Some $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

Etapa 1.3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Etapa 1.3.4

Como $40000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40000$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Etapa 1.3.5

Como $\frac{10000}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10000 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\frac{10000}{3}$ por $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

Etapa 1.3.8

Some $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

Etapa 1.3.9

Combine $6$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $6$ por $10000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

Etapa 1.3.11

Cancele o fator comum de $60000$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.11.1

Fatore $3$ de $60000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

Etapa 1.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

Etapa 1.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

Etapa 1.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

Etapa 1.3.11.2.4

Divida $20000$ por $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $40000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.2

Combine $30$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.3

Multiplique $30$ por $10000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.4

Cancele o fator comum de $300000$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.4.1

Fatore $3$ de $300000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.4.2.4

Divida $100000$ por $1$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.5

Combine $\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.6

Some $- 40000$ e $100000$ .

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Etapa 1.4.3.7

Subtraia $\frac{10000 x}{3}$ de $- \frac{10000 x}{3}$ .

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 1.4.3.8

Combine $- 2$ e $\frac{10000 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 1.4.3.9

Multiplique $10000$ por $- 2$ .

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 1.4.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 1.4.3.11

Some $60000$ e $20000$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [80000]$ .

$r'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{20000 x}{3}) + \frac{d}{d x} (80000)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{20000 x}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- \frac{20000}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{20000 x}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{20000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (80000)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (80000)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + \frac{d}{d x} (80000)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $80000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $80000$ em relação a $x$ é $0$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- \frac{20000}{3}$ e $0$ .

$r'' (x) = - \frac{20000}{3}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Combine $\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)]$

Etapa 4.1.1.2

Combine $\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x) + (40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.1.3

$\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) (30 - x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \frac{d}{d x} [30 - x] + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $30 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.3

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30$ em relação a $x$ é $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}] + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.7

Como $40000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40000$ em relação a $x$ é $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.8

Como $\frac{10000}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10000 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1 \cdot 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) (0 - 1) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.11

Subtraia $1$ de $0$ .

$(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot - 1 + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.12

Mova $- 1$ para a esquerda de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- 1 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.13

Reescreva $- 1 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ como $- (40000 + \frac{10000 x}{3})$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.14

Multiplique $\frac{10000}{3}$ por $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) (0 + \frac{10000}{3}) + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.2.15

Some $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(40000 + \frac{10000 x}{3}) \cdot 6]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{d}{d x} [6 \cdot (40000 + \frac{10000 x}{3})]$

Etapa 4.1.3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 (40000 + \frac{10000 x}{3})$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 \frac{d}{d x} [40000 + \frac{10000 x}{3}]$

Etapa 4.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $40000 + \frac{10000 x}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Etapa 4.1.3.4

Como $40000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40000$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{d}{d x} [\frac{10000 x}{3}])$

Etapa 4.1.3.5

Como $\frac{10000}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{10000 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3} \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.7

Multiplique $\frac{10000}{3}$ por $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (0 + \frac{10000}{3})$

Etapa 4.1.3.8

Some $0$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 6 (\frac{10000}{3})$

Etapa 4.1.3.9

Combine $6$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{6 \cdot 10000}{3}$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $6$ por $10000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{60000}{3}$

Etapa 4.1.3.11

Cancele o fator comum de $60000$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.11.1

Fatore $3$ de $60000$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3}$

Etapa 4.1.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 (1)}$

Etapa 4.1.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{3 \cdot 20000}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + \frac{20000}{1}$

Etapa 4.1.3.11.2.4

Divida $20000$ por $1$ .

$- (40000 + \frac{10000 x}{3}) + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + (30 - x) \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $40000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 30 (\frac{10000}{3}) - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.2

Combine $30$ e $\frac{10000}{3}$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{30 \cdot 10000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.3

Multiplique $30$ por $10000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{300000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.4

Cancele o fator comum de $300000$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.4.1

Fatore $3$ de $300000$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 (1)} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{3 \cdot 100000}{3 \cdot 1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + \frac{100000}{1} - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.4.2.4

Divida $100000$ por $1$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - x \frac{10000}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.5

Combine $\frac{10000}{3}$ e $x$ .

$- 40000 - \frac{10000 x}{3} + 100000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.6

Some $- 40000$ e $100000$ .

$- \frac{10000 x}{3} + 60000 - \frac{10000 x}{3} + 20000$

Etapa 4.1.4.3.7

Subtraia $\frac{10000 x}{3}$ de $- \frac{10000 x}{3}$ .

$- 2 \frac{10000 x}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 4.1.4.3.8

Combine $- 2$ e $\frac{10000 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (10000 x)}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 4.1.4.3.9

Multiplique $10000$ por $- 2$ .

$\frac{- 20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 4.1.4.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20000 x}{3} + 60000 + 20000$

Etapa 4.1.4.3.11

Some $60000$ e $20000$ .

$f' (x) = - \frac{20000 x}{3} + 80000$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $r (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{20000 x}{3} + 80000$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{20000 x}{3} + 80000 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $80000$ dos dois lados da equação.

$- \frac{20000 x}{3} = - 80000$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados da equação por $- \frac{3}{20000}$ .

$- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Simplifique $- \frac{3}{20000} (- \frac{20000 x}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{20000}$ para o numerador.

$\frac{- 3}{20000} (- \frac{20000 x}{3}) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.1.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{20000 x}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 3}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.1.3

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{20000} \cdot \frac{- 20000 x}{3} = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.1.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{20000} (- 20000 x) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $20000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.2.1

Fatore $20000$ de $- 20000 x$ .

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{20000} (20000 (- x)) = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- - x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.1.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = - \frac{3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique $- \frac{3}{20000} \cdot - 80000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $20000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{20000}$ para o numerador.

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot - 80000$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Fatore $20000$ de $- 80000$ .

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 (- 4))$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 3}{20000} \cdot (20000 \cdot - 4)$

Etapa 5.4.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$x = - 3 \cdot - 4$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$x = 12$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 12$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 12$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{20000}{3}$

Etapa 9

$x = 12$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 12$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum.

$r (12) = (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.1.1.3

Reescreva a expressão.

$r (12) = (40000 + 10000 \cdot 4) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.1.2

Multiplique $10000$ por $4$ .

$r (12) = (40000 + 40000) (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.2

Some $40000$ e $40000$ .

$r (12) = 80000 (30 - (12)) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$r (12) = 80000 (30 - 12) + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.4

Subtraia $12$ de $30$ .

$r (12) = 80000 \cdot 18 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.5

Multiplique $80000$ por $18$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (12)) (6)$

Etapa 10.2.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 (4))) \cdot 6$

Etapa 10.2.1.6.1.2

Cancele o fator comum.

$r (12) = 1440000 + (40000 + \frac{10000}{3} \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 6$

Etapa 10.2.1.6.1.3

Reescreva a expressão.

$r (12) = 1440000 + (40000 + 10000 \cdot 4) \cdot 6$

Etapa 10.2.1.6.2

Multiplique $10000$ por $4$ .

$r (12) = 1440000 + (40000 + 40000) \cdot 6$

Etapa 10.2.1.7

Some $40000$ e $40000$ .

$r (12) = 1440000 + 80000 \cdot 6$

Etapa 10.2.1.8

Multiplique $80000$ por $6$ .

$r (12) = 1440000 + 480000$

Etapa 10.2.2

Some $1440000$ e $480000$ .

$r (12) = 1920000$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $1920000$ .

$y = 1920000$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $r (x) = (40000 + \frac{10000}{3} x) (30 - x) + (40000 + \frac{10000}{3} x) (6)$ .

$(12, 1920000)$ é um máximo local

Etapa 12