Cálculo Exemplos

$s (t) = 4 - 6 \sqrt[3]{t}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 6 \sqrt[3]{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6 t^{\frac{1}{3}}$ em relação a $t$ é $- 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.2.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 - 6 \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.2.10

Combine $- 6$ e $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{- 6 t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.2.11

Mova $t^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{- 6}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.12

Fatore $3$ de $- 6$ .

$0 + \frac{3 \cdot - 2}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (t^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{3 \cdot - 2}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 2}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3

Subtraia $\frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}]$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ como ${(t^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} {(t^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} t^{\frac{2}{3} \cdot - 1}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} t^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} t^{\frac{- 2}{3}}$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$s'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} t^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$s'' (t) = - 2 (- \frac{2}{3} t^{- \frac{2}{3} - 1})$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$s'' (t) = - 2 (- \frac{2}{3} t^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$s'' (t) = - 2 (- \frac{2}{3} t^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$s'' (t) = - 2 (- \frac{2}{3} t^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$s'' (t) = - 2 (- \frac{2}{3} t^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Etapa 2.7.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$s'' (t) = - 2 (- \frac{2}{3} t^{\frac{- 5}{3}})$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$s'' (t) = - 2 (- \frac{2}{3} t^{- \frac{5}{3}})$

Etapa 2.9

Combine $t^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$s'' (t) = - 2 (- \frac{t^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$s'' (t) = 2 (\frac{t^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Etapa 2.11

Combine $2$ e $\frac{t^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$s'' (t) = \frac{2 (t^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

Etapa 2.12

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$s'' (t) = \frac{4 t^{- \frac{5}{3}}}{3}$

Etapa 2.12.2

Mova $t^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$s'' (t) = \frac{4}{3 t^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 6 \sqrt[3]{t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$

Etapa 4.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 6 \sqrt[3]{t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.2

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6 t^{\frac{1}{3}}$ em relação a $t$ é $- 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.1.2.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - 6 (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 - 6 \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.2.10

Combine $- 6$ e $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{- 6 t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.2.11

Mova $t^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{- 6}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.12

Fatore $3$ de $- 6$ .

$0 + \frac{3 \cdot - 2}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (t^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{3 \cdot - 2}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 2}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $\frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$ de $0$ .

$f' (t) = - \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $s (t)$ com relação a $t$ é $- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 5.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{t^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{t^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{t^{2}}$ como $t^{\frac{2}{3}}$ .

${(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$t^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$t^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$t = \pm 0$

Etapa 6.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$t = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3 \cdot 0^{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4}{3 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{4}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{4}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $t$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $t$ por $- 2$ na expressão.

$s' (- 2) = - \frac{2}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2

A resposta final é $- \frac{2}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{2}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{2}{t^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $t$ por $2$ na expressão.

$s' (2) = - \frac{2}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Mova ${(2)}^{\frac{2}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$s' (2) = - (2 \cdot 2^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 10.3.2.2

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$s' (2) = - (2 \cdot 2^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 10.3.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$s' (2) = - 2^{1 - \frac{2}{3}}$

Etapa 10.3.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$s' (2) = - 2^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Etapa 10.3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$s' (2) = - 2^{\frac{3 - 2}{3}}$

Etapa 10.3.2.2.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$s' (2) = - 2^{\frac{1}{3}}$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 2^{\frac{1}{3}}$ .

$- 2^{\frac{1}{3}}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $t = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $s (t) = 4 - 6 \sqrt[3]{t}$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11