Cálculo Exemplos

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ e $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.3.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Etapa 1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Etapa 1.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Etapa 1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Etapa 1.5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Etapa 1.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Etapa 1.5.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.2

Combine $\frac{3}{12}$ e ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.3

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.3.1

Fatore $3$ de $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.3.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 1.6.3.6

Combine ${(t - 1)}^{2}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Etapa 1.6.3.7

Para escrever $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 1.6.3.8

Combine $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Etapa 1.6.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Etapa 1.6.3.10

Combine $4$ e $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 1.6.3.11

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.11.1

Fatore $4$ de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 1.6.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.11.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 1.6.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 1.6.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 1.6.4

Reordene os termos.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.1

Use o teorema binomial.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.4.1

Fatore $3$ de $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 1.6.5.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.1

Reescreva ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.2

Expanda $(t - 1) (t - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.3.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.3.1.4

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.3.2

Subtraia $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.5.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.5.1.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.5.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.5.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.5.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.5.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.6.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.6.1.1

Mova $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.6.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.6.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.5.6.7

Reescreva ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Etapa 1.6.5.6.8

Expanda $(t - 1) (t - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Etapa 1.6.5.6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Etapa 1.6.5.6.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.6.5.6.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.6.9.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.6.5.6.9.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.6.5.6.9.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.6.5.6.9.1.4

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.6.5.6.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Etapa 1.6.5.6.9.2

Subtraia $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Etapa 1.6.5.7

Some $- 6 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Etapa 1.6.5.8

Subtraia $2 t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Etapa 1.6.5.9

Some $t^{3}$ e $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Etapa 1.6.5.10

Subtraia $5 t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Etapa 1.6.5.11

Some $3 t$ e $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Etapa 1.6.5.12

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Etapa 1.6.5.13

Some $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ e $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Etapa 1.6.5.14

Reescreva $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.14.1

Fatore $4 t$ de $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.14.1.1

Fatore $4 t$ de $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Etapa 1.6.5.14.1.2

Fatore $4 t$ de $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Etapa 1.6.5.14.1.3

Fatore $4 t$ de $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Etapa 1.6.5.14.1.4

Fatore $4 t$ de $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Etapa 1.6.5.14.1.5

Fatore $4 t$ de $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Etapa 1.6.5.14.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.14.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Etapa 1.6.5.14.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Etapa 1.6.5.14.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Etapa 1.6.5.14.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = t$ e $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 1.6.6.2

Divida $t {(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Etapa 1.6.7

Reescreva ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Etapa 1.6.8

Expanda $(t - 1) (t - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Etapa 1.6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Etapa 1.6.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.6.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.6.9.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.6.9.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.6.9.1.4

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.6.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Etapa 1.6.9.2

Subtraia $t$ de $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Etapa 1.6.10

Aplique a propriedade distributiva.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 1.6.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.11.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.11.1.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.11.1.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 1.6.11.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 1.6.11.1.2

Some $1$ e $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 1.6.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Etapa 1.6.11.3

Multiplique $t$ por $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Etapa 1.6.12

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.12.1

Mova $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Etapa 1.6.12.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} - 2 t^{2} + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Etapa 4.1.2

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.3.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Etapa 4.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Etapa 4.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Etapa 4.1.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Etapa 4.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Etapa 4.1.5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Etapa 4.1.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Etapa 4.1.5.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.2

Combine $\frac{3}{12}$ e ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.3

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.3.1

Fatore $3$ de $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.3.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Etapa 4.1.6.3.6

Combine ${(t - 1)}^{2}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Etapa 4.1.6.3.7

Para escrever $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.6.3.8

Combine $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.6.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Etapa 4.1.6.3.10

Combine $4$ e $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 4.1.6.3.11

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.11.1

Fatore $4$ de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 4.1.6.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.3.11.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 4.1.6.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 4.1.6.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Etapa 4.1.6.4

Reordene os termos.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.1

Use o teorema binomial.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.4.1

Fatore $3$ de $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.1

Reescreva ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.2

Expanda $(t - 1) (t - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.3.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.3.1.4

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.3.2

Subtraia $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.5.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.5.1.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.5.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.5.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.5.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.5.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.6.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.6.1.1

Mova $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.6.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.6.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.7

Reescreva ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.8

Expanda $(t - 1) (t - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.6.9.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.9.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.9.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.9.1.4

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.6.9.2

Subtraia $t$ de $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.7

Some $- 6 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.8

Subtraia $2 t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.9

Some $t^{3}$ e $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.10

Subtraia $5 t^{2}$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.11

Some $3 t$ e $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Etapa 4.1.6.5.12

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Etapa 4.1.6.5.13

Some $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ e $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14

Reescreva $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.14.1

Fatore $4 t$ de $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.14.1.1

Fatore $4 t$ de $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14.1.2

Fatore $4 t$ de $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14.1.3

Fatore $4 t$ de $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14.1.4

Fatore $4 t$ de $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14.1.5

Fatore $4 t$ de $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.14.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Etapa 4.1.6.5.14.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Etapa 4.1.6.5.14.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = t$ e $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Etapa 4.1.6.6.2

Divida $t {(t - 1)}^{2}$ por $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Etapa 4.1.6.7

Reescreva ${(t - 1)}^{2}$ como $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Etapa 4.1.6.8

Expanda $(t - 1) (t - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Etapa 4.1.6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Etapa 4.1.6.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.1.6.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.9.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.1.6.9.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.1.6.9.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.1.6.9.1.4

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Etapa 4.1.6.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Etapa 4.1.6.9.2

Subtraia $t$ de $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Etapa 4.1.6.10

Aplique a propriedade distributiva.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 4.1.6.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.11.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.11.1.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.11.1.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 4.1.6.11.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 4.1.6.11.1.2

Some $1$ e $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Etapa 4.1.6.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Etapa 4.1.6.11.3

Multiplique $t$ por $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Etapa 4.1.6.12

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.12.1

Mova $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Etapa 4.1.6.12.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $s (t)$ com relação a $t$ é $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $t$ de $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $t$ de $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $t$ de $- 2 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $t$ de $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ .

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Etapa 5.2.1.6

Fatore $t$ de $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = t$ e $b = 1$ .

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

Etapa 5.4

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 5.5

Defina ${(t - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina ${(t - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva ${(t - 1)}^{2} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Defina $t - 1$ como igual a $0$ .

$t - 1 = 0$

Etapa 5.5.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$t = 1$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $t {(t - 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$t = 0, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = 0, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 9.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 + 0 + 1$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 10

$t = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

Etapa 11.2.1.3

Some $0$ e $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

Etapa 11.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

Etapa 11.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $t = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 13.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$3 - 4 + 1$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $4$ de $3$ .

$- 1 + 1$

Etapa 13.2.2

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $t$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $t^{3} - 2 t^{2} + t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $t$ por $- 2$ na expressão.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Remova os parênteses.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Etapa 14.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Etapa 14.2.2.2.2

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.2.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Etapa 14.2.2.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Etapa 14.2.2.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

Etapa 14.2.2.2.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

Etapa 14.2.2.3

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.3.1

Subtraia $8$ de $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

Etapa 14.2.2.3.2

Subtraia $2$ de $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

Etapa 14.2.2.4

A resposta final é $- 18$ .

$- 18$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $t^{3} - 2 t^{2} + t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $t$ por $0.5$ na expressão.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Remova os parênteses.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Etapa 14.3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Etapa 14.3.2.2.2

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

Etapa 14.3.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

Etapa 14.3.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.3.1

Subtraia $0.5$ de $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

Etapa 14.3.2.3.2

Some $- 0.375$ e $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

Etapa 14.3.2.4

A resposta final é $0.125$ .

$0.125$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $t^{3} - 2 t^{2} + t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $t$ por $4$ na expressão.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Remova os parênteses.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Etapa 14.4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

Etapa 14.4.2.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

Etapa 14.4.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

Etapa 14.4.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.3.1

Subtraia $32$ de $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

Etapa 14.4.2.3.2

Some $32$ e $4$ .

$s' (4) = 36$

Etapa 14.4.2.4

A resposta final é $36$ .

$36$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $t = 0$ , então $t = 0$ é um mínimo local.

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $t = 1$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 15