Cálculo Exemplos

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $3 i$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 \sin (t) i$ em relação a $t$ é $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 5 j$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 5 \cos (3 t) j$ em relação a $t$ é $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.3.7

Multiplique $- 3$ por $- 5$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $k$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $e^{- 7 t} k$ em relação a $t$ é $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 7 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Etapa 1.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Etapa 1.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Etapa 1.4.3

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7 t$ em relação a $t$ é $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Etapa 1.4.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Etapa 1.4.6

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 7 t}$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reordene os termos.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

Etapa 1.5.2

Reordene os fatores em $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3 i$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 i \cos (t)$ em relação a $t$ é $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $15 j$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $15 j \sin (3 t)$ em relação a $t$ é $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 t)$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $3$ por $15$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 7 k$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7 k e^{- 7 t}$ em relação a $t$ é $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 7 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Etapa 2.4.3

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7 t$ em relação a $t$ é $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

Etapa 2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Etapa 2.4.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Etapa 2.4.6

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 7 t}$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

Etapa 2.4.7

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

Etapa 4

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Etapa 5

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $0$ por $- 3$ .

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Etapa 5.1.3

Multiplique $0$ por $i$ .

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Etapa 5.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Etapa 5.1.6

Multiplique $45$ por $1$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Etapa 5.1.7

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

Etapa 5.1.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

Etapa 5.1.9

Multiplique $49$ por $1$ .

$0 + 45 j + 49 k$

Etapa 5.2

Some $0$ e $45 j$ .

$45 j + 49 k$

Etapa 6

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 7