Cálculo Exemplos

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5

Separe as frações.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7

Divida $- 2$ por $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 8.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9

Separe as frações.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 10

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 11

Divida $0$ por $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Etapa 12

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 13

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 2 \tan (x) = 1$

Etapa 14

Divida cada termo em $- 2 \tan (x) = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 14.1

Divida cada termo em $- 2 \tan (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 14.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 14.2.1.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

Etapa 14.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 15

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Etapa 16

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.1

Avalie $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

Etapa 17

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Etapa 18

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 18.1

Some $2 π$ a $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 18.2

O ângulo resultante de $2.67794504$ é positivo e coterminal com $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

Etapa 19

A solução para a equação $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = - 0.4636476$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

Etapa 21

$x = - 0.4636476$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 0.4636476$ é um máximo local

Etapa 22

Encontre o valor y quando $x = - 0.4636476$ .

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Etapa 22.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.4636476$ na expressão.

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Etapa 22.2

A resposta final é $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Etapa 23

Avalie a segunda derivada em $x = 2.67794504$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

Etapa 24

$x = 2.67794504$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2.67794504$ é um mínimo local

Etapa 25

Encontre o valor y quando $x = 2.67794504$ .

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Etapa 25.1

Substitua a variável $x$ por $2.67794504$ na expressão.

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Etapa 25.2

A resposta final é $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Etapa 26

Esses são os extremos locais para $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ é um máximo local

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ é um mínimo local

Etapa 27