Cálculo Exemplos

$h (x) = x^{5} - 2 x^{3} + x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 2 x^{3} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$h'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$h'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$h'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$h'' (x) = 20 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$h'' (x) = 20 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$h'' (x) = 20 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$h'' (x) = 20 x^{3} - 12 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $20 x^{3} - 12 x$ e $0$ .

$h'' (x) = 20 x^{3} - 12 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 2 x^{3} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ e cuja soma é $b = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 u$ .

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva $- 6$ como $- 1$ mais $- 5$

$5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1 = 0$

Etapa 5.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1 = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (5 u - 1) - (5 u - 1) = 0$

Etapa 5.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 u - 1$ .

$(5 u - 1) (u - 1) = 0$

Etapa 5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 5.5

Defina $5 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $5 u - 1$ como igual a $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $5 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 u = 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $5 u = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 u = 1$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Etapa 5.6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $(5 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Etapa 5.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 5.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Etapa 5.10

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Etapa 5.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 5.10.2.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 5.10.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.10.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 5.10.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.10.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.10.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.10.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 5.10.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 5.12

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 5.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.12.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 5.13

A solução para $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ é $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$20 \frac{{\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 \frac{\sqrt{5^{3}}}{5^{3}} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 \frac{\sqrt{125}}{5^{3}} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Fatore $25$ de $125$ .

$20 \frac{\sqrt{25 (5)}}{5^{3}} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.3.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$20 \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 \frac{5 \sqrt{5}}{5^{3}} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 \frac{5 \sqrt{5}}{125} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{5 \sqrt{5}}{125} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4.2

Fatore $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 4 \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.4.4

Reescreva a expressão.

$4 \frac{5 \sqrt{5}}{25} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.5

Combine $4$ e $\frac{5 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (5 \sqrt{5})}{25} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 \sqrt{5}}{25} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7

Cancele o fator comum de $20$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Fatore $5$ de $20 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (4 \sqrt{5})}{25} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (4 \sqrt{5})}{5 (5)} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (4 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} - 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.8

Combine $- 12$ e $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} + \frac{- 12 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5} - \frac{12 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \sqrt{5} - 12 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $12 \sqrt{5}$ de $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{5} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{5} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{{\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{5}$ como $\sqrt{5^{5}}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.2.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{3125}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.2.3

Reescreva $3125$ como $25^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.3.1

Fatore $625$ de $3125$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.2.3.2

Reescreva $625$ como $25^{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \sqrt{5}}{5^{5}} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \sqrt{5}}{3125} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.4

Cancele o fator comum de $25$ e $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.1

Fatore $25$ de $25 \sqrt{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (\sqrt{5})}{3125} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.2.1

Fatore $25$ de $3125$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \sqrt{5}}{25 \cdot 125} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \sqrt{5}}{25 \cdot 125} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.6.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{\sqrt{5^{3}}}{5^{3}} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.6.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{\sqrt{125}}{5^{3}} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.6.3

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.6.3.1

Fatore $25$ de $125$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{\sqrt{25 (5)}}{5^{3}} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.6.3.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.6.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{5 \sqrt{5}}{5^{3}} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.7

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{5 \sqrt{5}}{125} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.8

Cancele o fator comum de $5$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.8.1

Fatore $5$ de $5 \sqrt{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{5 (\sqrt{5})}{125} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.8.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 \frac{\sqrt{5}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.9

Combine $- 2$ e $\frac{\sqrt{5}}{25}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{- 2 \sqrt{5}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{2 \sqrt{5}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - (\frac{2 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25}$

Etapa 11.2.3.4

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Etapa 11.2.3.5

Reordene os fatores de $25 \cdot 5$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} + \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Etapa 11.2.3.6

Multiplique $5$ por $25$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Etapa 11.2.3.7

Multiplique $5$ por $25$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{125} - \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{125} + \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Etapa 11.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 10 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Etapa 11.2.5.2

Mova $25$ para a esquerda de $\sqrt{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5} - 10 \sqrt{5} + 25 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 11.2.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Subtraia $10 \sqrt{5}$ de $\sqrt{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{- 9 \sqrt{5} + 25 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 11.2.6.2

Some $- 9 \sqrt{5}$ e $25 \sqrt{5}$ .

$h (\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $\frac{16 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = \frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{{\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{\sqrt{125}}{5^{3}}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.3

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.3.1

Fatore $25$ de $125$ .

$20 (- \frac{\sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.3.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$20 (- \frac{5 \sqrt{5}}{5^{3}}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$20 (- \frac{5 \sqrt{5}}{125}) - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 \sqrt{5}}{125}$ para o numerador.

$20 \frac{- 5 \sqrt{5}}{125} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.2

Fatore $5$ de $20$ .

$5 (4) \frac{- 5 \sqrt{5}}{125} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.3

Fatore $5$ de $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.4

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 4 \frac{- 5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.5.5

Reescreva a expressão.

$4 \frac{- 5 \sqrt{5}}{25} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.6

Combine $4$ e $\frac{- 5 \sqrt{5}}{25}$ .

$\frac{4 (- 5 \sqrt{5})}{25} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.7

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$\frac{- 20 \sqrt{5}}{25} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8

Cancele o fator comum de $- 20$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Fatore $5$ de $- 20 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (- 4 \sqrt{5})}{25} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (- 4 \sqrt{5})}{5 (5)} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- 4 \sqrt{5})}{5 \cdot 5} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4 \sqrt{5}}{5} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(4) \sqrt{5}}{5} - 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$

Etapa 13.1.10

Multiplique $- 12 (- \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$- \frac{4 \sqrt{5}}{5} + 12 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 13.1.10.2

Combine $12$ e $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{4 \sqrt{5}}{5} + \frac{12 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 13.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 13.2.2

Some $- 4 \sqrt{5}$ e $12 \sqrt{5}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ na expressão.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Remova os parênteses.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{{\sqrt{5}}^{5}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.3.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{5}$ como $\sqrt{5^{5}}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5^{5}}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.3.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{3125}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.3.3

Reescreva $3125$ como $25^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.3.3.1

Fatore $625$ de $3125$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{625 (5)}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.3.3.2

Reescreva $625$ como $25^{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{25^{2} \cdot 5}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 \sqrt{5}}{5^{5}} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.4

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 \sqrt{5}}{3125} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.5

Cancele o fator comum de $25$ e $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.5.1

Fatore $25$ de $25 \sqrt{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 (\sqrt{5})}{3125} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.5.2.1

Fatore $25$ de $3125$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 \sqrt{5}}{25 \cdot 125} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{25 \sqrt{5}}{25 \cdot 125} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{3} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{3}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}})) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{{\sqrt{5}}^{3}}{5^{3}}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.8.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{5^{3}}}{5^{3}}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.8.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{125}}{5^{3}}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.8.3

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.8.3.1

Fatore $25$ de $125$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{25 (5)}}{5^{3}}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.8.3.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{5^{3}}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.8.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{5 \sqrt{5}}{5^{3}}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.9

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{5 \sqrt{5}}{125}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.10

Cancele o fator comum de $5$ e $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.10.1

Fatore $5$ de $5 \sqrt{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{5 (\sqrt{5})}{125}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.10.2.1

Fatore $5$ de $125$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{5 \sqrt{5}}{5 \cdot 25}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} - 2 (- \frac{\sqrt{5}}{25}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.11

Multiplique $- 2 (- \frac{\sqrt{5}}{25})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + 2 (\frac{\sqrt{5}}{25}) - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.2.11.2

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{5}}{25}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5}}{25} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$ por $\frac{5}{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.2.3.3

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{25}{25})$

Etapa 15.2.3.4

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $\frac{25}{25}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Etapa 15.2.3.5

Reordene os fatores de $25 \cdot 5$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{5 \cdot 25} - \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Etapa 15.2.3.6

Multiplique $5$ por $25$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{5 \cdot 25}$

Etapa 15.2.3.7

Multiplique $5$ por $25$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{\sqrt{5}}{125} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{125} - \frac{\sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{- \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5 - \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Etapa 15.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{- \sqrt{5} + 10 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 25}{125}$

Etapa 15.2.5.2

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{- \sqrt{5} + 10 \sqrt{5} - 25 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 15.2.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Some $- \sqrt{5}$ e $10 \sqrt{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{9 \sqrt{5} - 25 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 15.2.6.2

Subtraia $25 \sqrt{5}$ de $9 \sqrt{5}$ .

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{- 16 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 15.2.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h (- \frac{\sqrt{5}}{5}) = - \frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 15.2.7

A resposta final é $- \frac{16 \sqrt{5}}{125}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(1)}^{3} - 12 \cdot 1$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$20 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Etapa 17.1.2

Multiplique $20$ por $1$ .

$20 - 12 \cdot 1$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$20 - 12$

Etapa 17.2

Subtraia $12$ de $20$ .

$8$

Etapa 18

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$h (1) = {(1)}^{5} - 2 {(1)}^{3} + 1$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Remova os parênteses.

$h (1) = {(1)}^{5} - 2 {(1)}^{3} + 1$

Etapa 19.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$h (1) = 1 - 2 {(1)}^{3} + 1$

Etapa 19.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$h (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 19.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$h (1) = 1 - 2 + 1$

Etapa 19.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$h (1) = - 1 + 1$

Etapa 19.2.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$h (1) = 0$

Etapa 19.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(- 1)}^{3} - 12 \cdot - 1$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$20 \cdot - 1 - 12 \cdot - 1$

Etapa 21.1.2

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$- 20 - 12 \cdot - 1$

Etapa 21.1.3

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$- 20 + 12$

Etapa 21.2

Some $- 20$ e $12$ .

$- 8$

Etapa 22

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$h (- 1) = {(- 1)}^{5} - 2 {(- 1)}^{3} - 1$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Remova os parênteses.

$h (- 1) = {(- 1)}^{5} - 2 {(- 1)}^{3} - 1$

Etapa 23.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$h (- 1) = - 1 - 2 {(- 1)}^{3} - 1$

Etapa 23.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$h (- 1) = - 1 - 2 \cdot - 1 - 1$

Etapa 23.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$h (- 1) = - 1 + 2 - 1$

Etapa 23.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.3.1

Some $- 1$ e $2$ .

$h (- 1) = 1 - 1$

Etapa 23.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$h (- 1) = 0$

Etapa 23.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 24

Esses são os extremos locais para $h (x) = x^{5} - 2 x^{3} + x$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{16 \sqrt{5}}{125})$ é um máximo local

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{16 \sqrt{5}}{125})$ é um mínimo local

$(1, 0)$ é um mínimo local

$(- 1, 0)$ é um máximo local

Etapa 25