Cálculo Exemplos

$P (x) = \frac{- {0.1}^{2} + 100 x - 60}{4000 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 1 \cdot 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Etapa 1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Etapa 1.1.2.2

Subtraia $60$ de $- 0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{4000 x}]$

Etapa 1.1.3

Como $\frac{1}{4000}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{100 x - 60.01}{4000 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$ .

$\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 100 x - 60.01$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [100 x - 60.01] - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $100 x - 60.01$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100 x$ em relação a $x$ é $100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $100$ por $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $- 60.01$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60.01$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + 0) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $100$ e $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \cdot 100 - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Mova $100$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 \cdot x - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.8

Combine frações.

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Etapa 1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.8.2

Multiplique $\frac{1}{4000}$ por $\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$ .

$\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{4000 x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{100 x - (100 x) - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Multiplique $100$ por $- 1$ .

$\frac{100 x - 100 x - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 60.01$ .

$\frac{100 x - 100 x + 60.01}{4000 x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $100 x$ de $100 x$ .

$\frac{0 + 60.01}{4000 x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Some $0$ e $60.01$ .

$\frac{60.01}{4000 x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Fatore $60.01$ de $60.01$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 x^{2}}$

Etapa 1.4.4

Fatore $4000$ de $4000 x^{2}$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 (x^{2})}$

Etapa 1.4.5

Separe as frações.

$\frac{60.01}{4000} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.6

Divida $60.01$ por $4000$ .

$0.0150025 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.7

Combine $0.0150025$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{0.0150025}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $0.0150025$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{0.0150025}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $0.0150025 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$P'' (x) = 0.0150025 (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 2$ por $0.0150025$ .

$P'' (x) = - 0.030005 x^{- 3}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$P'' (x) = - 0.030005 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 0.030005$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$P'' (x) = \frac{- 0.030005}{x^{3}}$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P'' (x) = - \frac{0.030005}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{0.0150025}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6