Cálculo Exemplos

$k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Some $2 t$ e $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.4

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Mova $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.4.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Etapa 1.6

Mova $2$ para a esquerda de ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Etapa 1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Etapa 1.7.1.2

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.1.3

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.2.3

Some $3 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.3

Reescreva ${(t^{2} - 4)}^{2}$ como $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.4

Expanda $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.5.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.5.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.5.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.5.2

Subtraia $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.7.1

Multiplique $t$ por $t^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.7.1.1

Mova $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.7.1.2

Multiplique $t^{4}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.7.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.7.1.3

Some $4$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.7.3

Multiplique $16$ por $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.8.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.8.1.1

Mova $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.8.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.8.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.8.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.8.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 1.7.9

Expanda $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.2

Multiplique $t^{5}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.10.2.1

Mova $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.2.3

Some $2$ e $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.6

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.10.6.1

Mova $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.6.3

Some $2$ e $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.7

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.8

Multiplique $- 4$ por $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.10

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.10.10.1

Mova $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.10.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.10.10.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.10.3

Some $2$ e $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.11

Multiplique $32$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 1.7.10.12

Multiplique $- 4$ por $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Etapa 1.7.11

Subtraia $64 t^{5}$ de $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Etapa 1.7.12

Some $64 t^{3}$ e $128 t^{3}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [8 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 72 t^{5}] + \frac{d}{d t} [192 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

$k'' (t) = \frac{d}{d t} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d t} [8 t^{7}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8 t^{7}$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$k'' (t) = 8 \frac{d}{d t} (t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$k'' (t) = 8 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $7$ por $8$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 72 t^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 72$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 72 t^{5}$ em relação a $t$ é $- 72 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 \frac{d}{d t} t^{5} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $5$ por $- 72$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d t} [192 t^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $192$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $192 t^{3}$ em relação a $t$ é $192 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $3$ por $192$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- 128$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 128 t$ em relação a $t$ é $- 128 \frac{d}{d t} [t]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \frac{d}{d t} t$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 128$ por $1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 4$ em relação a $t$ é $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.4.1

Some $2 t$ e $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.4

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Mova $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Etapa 4.1.6

Mova $2$ para a esquerda de ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Etapa 4.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1.1

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Etapa 4.1.7.1.2

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.1.3

Fatore $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ de $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.2.3

Some $3 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.3

Reescreva ${(t^{2} - 4)}^{2}$ como $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.4

Expanda $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.5.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.5.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.5.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.5.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.5.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.5.2

Subtraia $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.7.1

Multiplique $t$ por $t^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.7.1.1

Mova $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.7.1.2

Multiplique $t^{4}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.7.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.7.1.3

Some $4$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.7.3

Multiplique $16$ por $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.8.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.8.1.1

Mova $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.8.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.8.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.8.1.3

Some $2$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.8.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Etapa 4.1.7.9

Expanda $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.2

Multiplique $t^{5}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.10.2.1

Mova $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.2.3

Some $2$ e $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.6

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.10.6.1

Mova $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.6.3

Some $2$ e $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.7

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.8

Multiplique $- 4$ por $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.10

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.10.10.1

Mova $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.10.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.10.10.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.10.3

Some $2$ e $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.11

Multiplique $32$ por $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Etapa 4.1.7.10.12

Multiplique $- 4$ por $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Etapa 4.1.7.11

Subtraia $64 t^{5}$ de $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Etapa 4.1.7.12

Some $64 t^{3}$ e $128 t^{3}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $k (t)$ com relação a $t$ é $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $8 t$ de $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $8 t$ de $8 t^{7}$ .

$8 t (t^{6}) - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $8 t$ de $- 72 t^{5}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $8 t$ de $192 t^{3}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) - 128 t = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $8 t$ de $- 128 t$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $8 t$ de $8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Etapa 5.2.1.6

Fatore $8 t$ de $8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Etapa 5.2.1.7

Fatore $8 t$ de $8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16)$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $- 1$ de $- 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $- 1$ de $- 9 t^{4}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) + 24 t^{2} - 16) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Fatore $- 1$ de $24 t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 16) = 0$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Etapa 5.2.2.4

Fatore $- 1$ de $- (9 t^{4}) - (- 24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Etapa 5.2.2.5

Fatore $- 1$ de $- (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Etapa 5.2.3

Reescreva $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 {(t^{2})}^{2} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Etapa 5.2.4

Deixe $u = t^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 u^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Etapa 5.2.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Reescreva $9 u^{2}$ como ${(3 u)}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 4^{2})) = 0$

Etapa 5.2.5.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$24 u = 2 \cdot (3 u) \cdot 4$

Etapa 5.2.5.4

Reescreva o polinômio.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 2 \cdot (3 u) \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Etapa 5.2.5.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 3 u$ e $b = 4$ .

$8 t (t^{6} - {(3 u - 4)}^{2}) = 0$

Etapa 5.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Etapa 5.2.7

Reescreva $t^{6}$ como ${(t^{3})}^{2}$ .

$8 t ({(t^{3})}^{2} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Etapa 5.2.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t^{3}$ e $b = 3 t^{2} - 4$ .

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Etapa 5.2.9

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.1

Remova os parênteses desnecessários.

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.2

Reescreva $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.2.1

Fatore $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 5.2.9.1.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 5.2.9.1.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 - 4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.3.5

Some $1$ e $3$ .

$4 - 4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.3.6

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 5.2.9.1.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $t - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} - 4}{t - 1}$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5

Divida $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ por $t - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			+	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t^{3} - t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 t^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 t^{2} - 4 t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 t$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							+	$4 t$	-	$4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 t - 4$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$
										$0$

Etapa 5.2.9.1.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$t^{2} + 4 t + 4$

Etapa 5.2.9.1.2.1.6

Escreva $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ como um conjunto de fatores.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Etapa 5.2.9.1.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = t$ e $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2}) + 4)) = 0$

Etapa 5.2.9.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Etapa 5.2.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Etapa 5.2.9.1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.6.1

Reescreva $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.6.1.1

Fatore $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.3.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.3.5

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.3.6

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $t + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 4}{t + 1}$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5

Divida $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ por $t + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $t^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			+	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $t^{3} + t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 t^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 t^{2} - 4 t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 t$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							+	$4 t$	+	$4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 t + 4$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$
										$0$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$t^{2} - 4 t + 4$

Etapa 5.2.9.1.6.1.1.6

Escreva $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ como um conjunto de fatores.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 4))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.6.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1.6.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 2^{2}))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.6.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Etapa 5.2.9.1.6.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}))) = 0$

Etapa 5.2.9.1.6.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = t$ e $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) {(t - 2)}^{2})) = 0$

Etapa 5.2.9.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2}) = 0$

Etapa 5.2.9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

$t - 1 = 0$

${(t + 2)}^{2} = 0$

$t + 1 = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.4

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 5.5

Defina $t - 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $t - 1$ como igual a $0$ .

$t - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$t = 1$

Etapa 5.6

Defina ${(t + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina ${(t + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.6.2

Resolva ${(t + 2)}^{2} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Defina $t + 2$ como igual a $0$ .

$t + 2 = 0$

Etapa 5.6.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$t = - 2$

Etapa 5.7

Defina $t + 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Defina $t + 1$ como igual a $0$ .

$t + 1 = 0$

Etapa 5.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$t = - 1$

Etapa 5.8

Defina ${(t - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Defina ${(t - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.8.2

Resolva ${(t - 2)}^{2} = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.1

Defina $t - 2$ como igual a $0$ .

$t - 2 = 0$

Etapa 5.8.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$t = 2$

Etapa 5.9

A solução final são todos os valores que tornam $8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$56 {(0)}^{6} - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$56 \cdot 0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Etapa 9.1.2

Multiplique $56$ por $0$ .

$0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 360 \cdot 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 360$ por $0$ .

$0 + 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Etapa 9.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 576 \cdot 0 - 128$

Etapa 9.1.6

Multiplique $576$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 - 128$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 128$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 - 128$

Etapa 9.2.3

Subtraia $128$ de $0$ .

$- 128$

Etapa 10

$t = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$k (0) = {(0)}^{2} {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$k (0) = 0 {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 11.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$k (0) = 0 {(0 - 4)}^{3}$

Etapa 11.2.3

Subtraia $4$ de $0$ .

$k (0) = 0 {(- 4)}^{3}$

Etapa 11.2.4

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$k (0) = 0 \cdot - 64$

Etapa 11.2.5

Multiplique $0$ por $- 64$ .

$k (0) = 0$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $t = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$56 {(1)}^{6} - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$56 \cdot 1 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Etapa 13.1.2

Multiplique $56$ por $1$ .

$56 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Etapa 13.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$56 - 360 \cdot 1 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 360$ por $1$ .

$56 - 360 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Etapa 13.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$56 - 360 + 576 \cdot 1 - 128$

Etapa 13.1.6

Multiplique $576$ por $1$ .

$56 - 360 + 576 - 128$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $360$ de $56$ .

$- 304 + 576 - 128$

Etapa 13.2.2

Some $- 304$ e $576$ .

$272 - 128$

Etapa 13.2.3

Subtraia $128$ de $272$ .

$144$

Etapa 14

$t = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 1$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $t = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $t$ por $1$ na expressão.

$k (1) = {(1)}^{2} {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$k (1) = 1 {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 15.2.2

Multiplique ${({(1)}^{2} - 4)}^{3}$ por $1$ .

$k (1) = {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Etapa 15.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$k (1) = {(1 - 4)}^{3}$

Etapa 15.2.4

Subtraia $4$ de $1$ .

$k (1) = {(- 3)}^{3}$

Etapa 15.2.5

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$k (1) = - 27$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $- 27$ .

$y = - 27$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $t = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$56 {(- 2)}^{6} - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$56 \cdot 64 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Etapa 17.1.2

Multiplique $56$ por $64$ .

$3584 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Etapa 17.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$3584 - 360 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Etapa 17.1.4

Multiplique $- 360$ por $16$ .

$3584 - 5760 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Etapa 17.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$3584 - 5760 + 576 \cdot 4 - 128$

Etapa 17.1.6

Multiplique $576$ por $4$ .

$3584 - 5760 + 2304 - 128$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $5760$ de $3584$ .

$- 2176 + 2304 - 128$

Etapa 17.2.2

Some $- 2176$ e $2304$ .

$128 - 128$

Etapa 17.2.3

Subtraia $128$ de $128$ .

$0$

Etapa 18

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $t$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 18.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Substitua a variável $t$ por $- 4$ na expressão.

$k' (- 4) = 8 {(- 4)}^{7} - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Etapa 18.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $7$ .

$k' (- 4) = 8 \cdot - 16384 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Etapa 18.2.2.1.2

Multiplique $8$ por $- 16384$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Etapa 18.2.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $5$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 \cdot - 1024 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Etapa 18.2.2.1.4

Multiplique $- 72$ por $- 1024$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Etapa 18.2.2.1.5

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 \cdot - 64 - 128 \cdot - 4$

Etapa 18.2.2.1.6

Multiplique $192$ por $- 64$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 - 128 \cdot - 4$

Etapa 18.2.2.1.7

Multiplique $- 128$ por $- 4$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 + 512$

Etapa 18.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.2.2.1

Some $- 131072$ e $73728$ .

$k' (- 4) = - 57344 - 12288 + 512$

Etapa 18.2.2.2.2

Subtraia $12288$ de $- 57344$ .

$k' (- 4) = - 69632 + 512$

Etapa 18.2.2.2.3

Some $- 69632$ e $512$ .

$k' (- 4) = - 69120$

Etapa 18.2.2.3

A resposta final é $- 69120$ .

$- 69120$

Etapa 18.3

Substitua qualquer número, como $- 1.5$ , do intervalo $(- 2, - 1)$ na primeira derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Substitua a variável $t$ por $- 1.5$ na expressão.

$k' (- 1.5) = 8 {(- 1.5)}^{7} - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Etapa 18.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1.1

Eleve $- 1.5$ à potência de $7$ .

$k' (- 1.5) = 8 \cdot - 17.0859375 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Etapa 18.3.2.1.2

Multiplique $8$ por $- 17.0859375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Etapa 18.3.2.1.3

Eleve $- 1.5$ à potência de $5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 \cdot - 7.59375 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Etapa 18.3.2.1.4

Multiplique $- 72$ por $- 7.59375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Etapa 18.3.2.1.5

Eleve $- 1.5$ à potência de $3$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 \cdot - 3.375 - 128 \cdot - 1.5$

Etapa 18.3.2.1.6

Multiplique $192$ por $- 3.375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 - 128 \cdot - 1.5$

Etapa 18.3.2.1.7

Multiplique $- 128$ por $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 + 192$

Etapa 18.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.2.1

Some $- 136.6875$ e $546.75$ .

$k' (- 1.5) = 410.0625 - 648 + 192$

Etapa 18.3.2.2.2

Subtraia $648$ de $410.0625$ .

$k' (- 1.5) = - 237.9375 + 192$

Etapa 18.3.2.2.3

Some $- 237.9375$ e $192$ .

$k' (- 1.5) = - 45.9375$

Etapa 18.3.2.3

A resposta final é $- 45.9375$ .

$- 45.9375$

Etapa 18.4

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Substitua a variável $t$ por $- 0.5$ na expressão.

$k' (- 0.5) = 8 {(- 0.5)}^{7} - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Etapa 18.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $7$ .

$k' (- 0.5) = 8 \cdot - 0.0078125 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Etapa 18.4.2.1.2

Multiplique $8$ por $- 0.0078125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Etapa 18.4.2.1.3

Eleve $- 0.5$ à potência de $5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 \cdot - 0.03125 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Etapa 18.4.2.1.4

Multiplique $- 72$ por $- 0.03125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Etapa 18.4.2.1.5

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 \cdot - 0.125 - 128 \cdot - 0.5$

Etapa 18.4.2.1.6

Multiplique $192$ por $- 0.125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 - 128 \cdot - 0.5$

Etapa 18.4.2.1.7

Multiplique $- 128$ por $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 + 64$

Etapa 18.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.2.1

Some $- 0.0625$ e $2.25$ .

$k' (- 0.5) = 2.1875 - 24 + 64$

Etapa 18.4.2.2.2

Subtraia $24$ de $2.1875$ .

$k' (- 0.5) = - 21.8125 + 64$

Etapa 18.4.2.2.3

Some $- 21.8125$ e $64$ .

$k' (- 0.5) = 42.1875$

Etapa 18.4.2.3

A resposta final é $42.1875$ .

$42.1875$

Etapa 18.5

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Substitua a variável $t$ por $0.5$ na expressão.

$k' (0.5) = 8 {(0.5)}^{7} - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Etapa 18.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $7$ .

$k' (0.5) = 8 \cdot 0.0078125 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Etapa 18.5.2.1.2

Multiplique $8$ por $0.0078125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Etapa 18.5.2.1.3

Eleve $0.5$ à potência de $5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 \cdot 0.03125 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Etapa 18.5.2.1.4

Multiplique $- 72$ por $0.03125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Etapa 18.5.2.1.5

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 \cdot 0.125 - 128 \cdot 0.5$

Etapa 18.5.2.1.6

Multiplique $192$ por $0.125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 128 \cdot 0.5$

Etapa 18.5.2.1.7

Multiplique $- 128$ por $0.5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 64$

Etapa 18.5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.2.1

Subtraia $2.25$ de $0.0625$ .

$k' (0.5) = - 2.1875 + 24 - 64$

Etapa 18.5.2.2.2

Some $- 2.1875$ e $24$ .

$k' (0.5) = 21.8125 - 64$

Etapa 18.5.2.2.3

Subtraia $64$ de $21.8125$ .

$k' (0.5) = - 42.1875$

Etapa 18.5.2.3

A resposta final é $- 42.1875$ .

$- 42.1875$

Etapa 18.6

Substitua qualquer número, como $1.5$ , do intervalo $(1, 2)$ na primeira derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.1

Substitua a variável $t$ por $1.5$ na expressão.

$k' (1.5) = 8 {(1.5)}^{7} - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Etapa 18.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.2.1.1

Eleve $1.5$ à potência de $7$ .

$k' (1.5) = 8 \cdot 17.0859375 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Etapa 18.6.2.1.2

Multiplique $8$ por $17.0859375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Etapa 18.6.2.1.3

Eleve $1.5$ à potência de $5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 \cdot 7.59375 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Etapa 18.6.2.1.4

Multiplique $- 72$ por $7.59375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Etapa 18.6.2.1.5

Eleve $1.5$ à potência de $3$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 \cdot 3.375 - 128 \cdot 1.5$

Etapa 18.6.2.1.6

Multiplique $192$ por $3.375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 128 \cdot 1.5$

Etapa 18.6.2.1.7

Multiplique $- 128$ por $1.5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 192$

Etapa 18.6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.2.2.1

Subtraia $546.75$ de $136.6875$ .

$k' (1.5) = - 410.0625 + 648 - 192$

Etapa 18.6.2.2.2

Some $- 410.0625$ e $648$ .

$k' (1.5) = 237.9375 - 192$

Etapa 18.6.2.2.3

Subtraia $192$ de $237.9375$ .

$k' (1.5) = 45.9375$

Etapa 18.6.2.3

A resposta final é $45.9375$ .

$45.9375$

Etapa 18.7

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 18.7.1

Substitua a variável $t$ por $4$ na expressão.

$k' (4) = 8 {(4)}^{7} - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Etapa 18.7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $7$ .

$k' (4) = 8 \cdot 16384 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Etapa 18.7.2.1.2

Multiplique $8$ por $16384$ .

$k' (4) = 131072 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Etapa 18.7.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$k' (4) = 131072 - 72 \cdot 1024 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Etapa 18.7.2.1.4

Multiplique $- 72$ por $1024$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Etapa 18.7.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 \cdot 64 - 128 \cdot 4$

Etapa 18.7.2.1.6

Multiplique $192$ por $64$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 128 \cdot 4$

Etapa 18.7.2.1.7

Multiplique $- 128$ por $4$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 512$

Etapa 18.7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 18.7.2.2.1

Subtraia $73728$ de $131072$ .

$k' (4) = 57344 + 12288 - 512$

Etapa 18.7.2.2.2

Some $57344$ e $12288$ .

$k' (4) = 69632 - 512$

Etapa 18.7.2.2.3

Subtraia $512$ de $69632$ .

$k' (4) = 69120$

Etapa 18.7.2.3

A resposta final é $69120$ .

$69120$

Etapa 18.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $t = - 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 18.9

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $t = - 1$ , então $t = - 1$ é um mínimo local.

$t = - 1$ é um mínimo local

Etapa 18.10

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $t = 0$ , então $t = 0$ é um máximo local.

$t = 0$ é um máximo local

Etapa 18.11

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $t = 1$ , então $t = 1$ é um mínimo local.

$t = 1$ é um mínimo local

Etapa 18.12

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $t = 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 18.13

Esses são os extremos locais para $k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = - 1$ é um mínimo local

$t = 0$ é um máximo local

$t = 1$ é um mínimo local

$t = - 1$ é um mínimo local

$t = 0$ é um máximo local

$t = 1$ é um mínimo local

Etapa 19