Cálculo Exemplos

$h (y) = \arctan (y^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \arctan (y)$ e $g (y) = y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

Etapa 1.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

Etapa 1.2.3.2

Combine $\frac{2}{1 + y^{4}}$ e $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

Etapa 1.2.3.3

Reordene os termos.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $y^{4} + 1$ por $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{4} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Some $4 y^{3}$ e $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4

Multiplique $y$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Mova $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4.2

Multiplique $y^{3}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.4.3

Some $3$ e $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.5

Subtraia $4 y^{4}$ de $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.6

Combine $2$ e $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.3

Fatore $2$ de $- 6 y^{4} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Fatore $2$ de $- 6 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.3.3

Fatore $2$ de $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.4

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.5

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.6

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.7

Reescreva $- (3 y^{4} - 1)$ como $- 1 (3 y^{4} - 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$2 y = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 y = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 y = 0$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$y = 0$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $y = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Etapa 7.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 7.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

Etapa 7.3.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$- - 2$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2$

Etapa 8

$y = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$y = 0$ é um mínimo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $y = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $y$ por $0$ na expressão.

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$h (0) = \arctan (0)$

Etapa 9.2.2

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$h (0) = 0$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 10

Esses são os extremos locais para $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

Etapa 11