Cálculo Exemplos

$x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Escreva $x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ como uma função.

$f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 8 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.7.4

Combine $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.9

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.13

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.13.2

Combine $\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.13.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.13.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.13.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Etapa 2.15

Multiplique ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.16

Para escrever ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.17

Combine ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.19

Multiplique ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.19.1

Mova ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.19.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.19.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.20

Simplifique ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.21

Mova $3$ para a esquerda de $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.1.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.2.2

Subtraia $3 x$ de $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.3

Fatore $4$ de $- 4 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.3.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.3.2

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.3.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.5

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.7

Reescreva $- (x - 6)$ como $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.22.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- \frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 6$ e $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 8 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.9.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2 {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.9.3

Mova ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.11

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.12

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.14

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.14.2

Multiplique $x - 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 1}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.16

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Multiplique $x - 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.16.2

Multiplique $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})) \cdot 4}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Etapa 3.16.3

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.3.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Etapa 3.16.3.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 \cdot {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17

Simplifique.

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Etapa 3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.17.2.1

Fatore $4$ de $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.17.2.1.1

Fatore $4$ de $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.1.2

Fatore $4$ de $4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.1.3

Fatore $4$ de $4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.2

Multiplique $x - 6$ por $\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 6) \cdot 2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $x - 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.4

Para escrever ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.5

Combine ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7

Reescreva $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.17.2.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.2

Multiplique ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.17.2.7.2.1

Mova ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 ({(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.2.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.2.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.3

Simplifique $3 {(8 - x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 \cdot 8 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.5

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 6}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.8

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x - 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.9

Subtraia $12$ de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- 3 x + 2 x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.2.7.10

Some $- 3 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.3

Combine os termos.

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Etapa 3.17.3.1

Combine $4$ e $\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.3.2

Reescreva $\frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = - (\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 3.17.3.3

Multiplique $\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 3.17.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3.17.3.5

Multiplique ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.17.3.5.1

Mova ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 ({(8 - x)}^{\frac{4}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 3.17.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Etapa 3.17.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Etapa 3.17.3.5.4

Some $4$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3.17.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3.17.5

Reescreva $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3.17.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3.17.7

Reescreva $- (x - 12)$ como $- 1 (x - 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3.17.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3.17.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}})$

Etapa 3.17.10

Multiplique $\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 8 - x$ .

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Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7

Combine frações.

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Etapa 5.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.3

Mova ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.7.4

Combine $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.9

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.13

Combine frações.

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Etapa 5.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.13.2

Combine $\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.13.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.13.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.13.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.13.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Etapa 5.1.15

Multiplique ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.1.16

Para escrever ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.17

Combine ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.19

Multiplique ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.19.1

Mova ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.19.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.19.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.20

Simplifique ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.21

Mova $3$ para a esquerda de $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22

Simplifique.

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Etapa 5.1.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.22.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.22.2.1.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.2.2

Subtraia $3 x$ de $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.3

Fatore $4$ de $- 4 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.22.3.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.3.2

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.3.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.5

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.7

Reescreva $- (x - 6)$ como $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.1.22.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x - 6) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $4 (x - 6) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Divida cada termo em $4 (x - 6) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.1.2.1.2

Divida $x - 6$ por $1$ .

$x - 6 = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}$ como ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(8 - x)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(8 - x)}^{2} = 0$

Etapa 7.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Divida cada termo em $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 7.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 7.3.3.1.2.1.2

Divida ${(8 - x)}^{2}$ por $1$ .

${(8 - x)}^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 7.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

${(8 - x)}^{2} = 0$

Etapa 7.3.3.2

Defina $8 - x$ como igual a $0$ .

$8 - x = 0$

Etapa 7.3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- x = - 8$

Etapa 7.3.3.3.2

Divida cada termo em $- x = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.2.1

Divida cada termo em $- x = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 7.3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 7.3.3.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 7.3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x = 8$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 6, 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ((6) - 12)}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Fatore $3$ de $4 ((6) - 12)$ .

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $3$ de $9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (2 - 4)}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.3

Subtraia $4$ de $2$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.4.2

Subtraia $6$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{- 8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 11

$x = 6$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = (6) {(8 - (6))}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f (6) = 6 {(8 - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 12.2.2

Subtraia $6$ de $8$ .

$f (6) = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - (8))}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 14.1.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 14.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 14.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 14.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{5}}$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Etapa 14.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Etapa 14.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 6) \cup (6, 8) \cup (8, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 6)$ na primeira derivada $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - \frac{4 ((0) - 6)}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Fatore $3$ de $4 ((0) - 6)$ .

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 ({(8 - (0))}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 15.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (0) = - \frac{4 (0 - 2)}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.2.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Subtraia $0$ de $8$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.2.4.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.2.2.4.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 15.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 15.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{2}}$

Etapa 15.2.2.4.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Etapa 15.2.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.5.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f' (0) = - \frac{- 8}{4}$

Etapa 15.2.2.5.2

Divida $- 8$ por $4$ .

$f' (0) = 2$

Etapa 15.2.2.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (0) = 2$

Etapa 15.2.2.6

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(6, 8)$ na primeira derivada $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = - \frac{4 ((7) - 6)}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Subtraia $6$ de $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - 7)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.3.2.2.2

Subtraia $7$ de $8$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.3.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Etapa 15.3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Etapa 15.3.2.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3}$

Etapa 15.3.2.4

A resposta final é $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $10$ , do intervalo $(8, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f' (10) = - \frac{4 ((10) - 6)}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Subtraia $6$ de $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.4.2.2.2

Subtraia $10$ de $8$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.4.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (10) = - \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.4.2.4

A resposta final é $- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 15.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 6$ , então $x = 6$ é um máximo local.

$x = 6$ é um máximo local

Etapa 15.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 8$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 15.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = 6$ é um máximo local

Etapa 16