Cálculo Exemplos

$x (4 + \frac{50}{x - 8})$

Etapa 1

Escreva $x (4 + \frac{50}{x - 8})$ como uma função.

$f (x) = x (4 + \frac{50}{x - 8})$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{4 (x - 8)}{x - 8} + \frac{50}{x - 8})]$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x \frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}]$

Etapa 2.2.2

Combine $x$ e $\frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 (x - 8) + 50)}{x - 8}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x (4 (x - 8) + 50)$ e $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x (4 (x - 8) + 50)] - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 (x - 8) + 50$ .

$\frac{(x - 8) (x \frac{d}{d x} [4 (x - 8) + 50] + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 (x - 8) + 50$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]$ .

$\frac{(x - 8) (x (\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 (x - 8)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.6.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.7

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + 0) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.8.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x \cdot 4 + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.8.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{(x - 8) (4 \cdot x + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + (4 (x - 8) + 50) \cdot 1) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.10

Multiplique $4 (x - 8) + 50$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.13

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.14.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.5.14.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x + 4 \cdot - 8 + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.4.1.1

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{(x - 8) (8 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Some $- 32$ e $50$ .

$\frac{(x - 8) (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Expanda $(x - 8) (8 x + 18)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (8 x + 18) - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.6.4.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.4.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 x \cdot x + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5.1.3

Mova $18$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 \cdot x - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5.1.4

Multiplique $8$ por $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5.1.5

Multiplique $- 8$ por $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5.2

Subtraia $64 x$ de $18 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x \cdot x - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.9

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x \cdot - 32 - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.10

Multiplique $- 32$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.11

Multiplique $50$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 46 x - 144 + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.3

Some $- 46 x$ e $32 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x - 144 - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.4

Subtraia $50 x$ de $- 14 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 64 x - 144$ .

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Etapa 2.6.5.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.1.2

Fatore $4$ de $- 64 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 16 x) - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.1.3

Fatore $4$ de $- 144$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x - 36)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.5.2

Fatore $x^{2} - 16 x - 36$ usando o método AC.

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Etapa 2.6.5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 36$ e cuja soma é $- 16$ .

$- 18, 2$

Etapa 2.6.5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{4 ((x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{2}}$

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}})$

Etapa 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{({(x - 8)}^{2})}^{2}})$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 8)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 18) (x + 2)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 18$ e $g (x) = x + 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) \frac{d}{d x} (x + 2) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (1 + \frac{d}{d x} (2)) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} ((x - 18) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $x - 18$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 18)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 18))) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 18))) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.7

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) (1 + 0)) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + (x + 2) \cdot 1) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.2

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (x - 18 + x + 2) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 18 + 2) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.5.8.4

Some $- 18$ e $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) \frac{d}{d x} {(x - 8)}^{2}}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 8$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 8$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - (x - 18) (x + 2) (2 (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.7.2

Fatore $x - 8$ de ${(x - 8)}^{2} (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Fatore $x - 8$ de ${(x - 8)}^{2} (2 x - 16)$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) - 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.7.2.2

Fatore $x - 8$ de $- 2 (x - 18) (x + 2) ((x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8])$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) + (x - 8) (- 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.7.2.3

Fatore $x - 8$ de $(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16)) + (x - 8) (- 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} [x - 8]))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{{(x - 8)}^{4}})$

Etapa 3.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.8.1

Fatore $x - 8$ de ${(x - 8)}^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{(x - 8) {(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8)))}{(x - 8) {(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x - 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.11

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.12

Combine frações.

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Etapa 3.12.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2) \cdot 1}{{(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.12.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{3}})$

Etapa 3.12.3

Combine $4$ e $\frac{(x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16) - 2 (x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16) + (- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((x - 8) (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.13.3.1.1

Expanda $(x - 8) (2 x - 16)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x - 16) - 8 (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x - 16)) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (2 x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.13.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.13.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x \cdot x + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} + x \cdot - 16 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.3

Mova $- 16$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 \cdot x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 x - 16 x - 8 \cdot - 16) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.5

Multiplique $- 8$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 16 x - 16 x + 128) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.2

Subtraia $16 x$ de $- 16 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2} - 32 x + 128) + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- 32 x) + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.13.3.1.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 4 (- 32 x) + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.4.2

Multiplique $- 32$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 4 \cdot 128 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.4.3

Multiplique $4$ por $128$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 ((- 2 x - 2 \cdot - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 ((- 2 x + 36) (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.6

Expanda $(- 2 x + 36) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.13.3.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x (x + 2) + 36 (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 36 (x + 2))}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.13.3.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.13.3.1.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.7.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7.1.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 4 x + 36 x + 36 \cdot 2)}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7.1.3

Multiplique $36$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} - 4 x + 36 x + 72)}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7.2

Some $- 4 x$ e $36 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2} + 32 x + 72)}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (32 x) + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.9

Simplifique.

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Etapa 3.13.3.1.9.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 4 (32 x) + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.9.2

Multiplique $32$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 4 \cdot 72}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.9.3

Multiplique $4$ por $72$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.2

Combine os termos opostos em $8 x^{2} - 128 x + 512 - 8 x^{2} + 128 x + 288$ .

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Etapa 3.13.3.2.1

Subtraia $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x + 512 + 0 + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.2.2

Some $- 128 x + 512$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x + 512 + 128 x + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.2.3

Some $- 128 x$ e $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 512 + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.2.4

Some $0$ e $512$ .

$f'' (x) = \frac{512 + 288}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.3

Some $512$ e $288$ .

$f'' (x) = \frac{800}{{(x - 8)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{4 (x - 8)}{x - 8} + \frac{50}{x - 8})]$

Etapa 5.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x \frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}]$

Etapa 5.1.2.2

Combine $x$ e $\frac{4 (x - 8) + 50}{x - 8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (4 (x - 8) + 50)}{x - 8}]$

Etapa 5.1.3

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [x (4 (x - 8) + 50)] - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 (x - 8) + 50$ .

$\frac{(x - 8) (x \frac{d}{d x} [4 (x - 8) + 50] + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5

Diferencie.

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Etapa 5.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 (x - 8) + 50$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]$ .

$\frac{(x - 8) (x (\frac{d}{d x} [4 (x - 8)] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 (x - 8)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x - 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \frac{d}{d x} [x - 8] + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.5.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.6.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + \frac{d}{d x} [50]) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.7

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (x (4 + 0) + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.8.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (x \cdot 4 + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.8.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{(x - 8) (4 \cdot x + (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x]) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + (4 (x - 8) + 50) \cdot 1) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.10

Multiplique $4 (x - 8) + 50$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.13

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.14

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.14.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.5.14.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 (x - 8) + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 (x - 8) + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x + 4 \cdot - 8 + 50)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x + 4 \cdot - 8 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.4.1.1

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$\frac{(x - 8) (4 x + 4 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{(x - 8) (8 x - 32 + 50) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.3

Some $- 32$ e $50$ .

$\frac{(x - 8) (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.4

Expanda $(x - 8) (8 x + 18)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (8 x + 18) - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x + 18) - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (8 x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.4.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.4.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 x \cdot x + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.4.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + x \cdot 18 - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.5.1.3

Mova $18$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 \cdot x - 8 (8 x) - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.5.1.4

Multiplique $8$ por $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 8 \cdot 18 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.5.1.5

Multiplique $- 8$ por $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 64 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.5.2

Subtraia $64 x$ de $18 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - x (4 x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x \cdot x - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.4.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 1 \cdot 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x (4 \cdot - 8) - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.9

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} - x \cdot - 32 - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.10

Multiplique $- 32$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - x \cdot 50}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.1.11

Multiplique $50$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 46 x - 144 - 4 x^{2} + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 46 x - 144 + 32 x - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.3

Some $- 46 x$ e $32 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x - 144 - 50 x}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.4.4

Subtraia $50 x$ de $- 14 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 64 x - 144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.5.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 64 x - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.1.2

Fatore $4$ de $- 64 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 16 x) - 144}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.1.3

Fatore $4$ de $- 144$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 16 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 16 x) + 4 \cdot - 36$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16 x - 36)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.1.6.5.2

Fatore $x^{2} - 16 x - 36$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 36$ e cuja soma é $- 16$ .

$- 18, 2$

Etapa 5.1.6.5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{4 ((x - 18) (x + 2))}{{(x - 8)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x - 18) (x + 2) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 18 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $x - 18$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Defina $x - 18$ como igual a $0$ .

$x - 18 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$x = 18$

Etapa 6.3.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.3.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 18) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 18, - 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{4 (x - 18) (x + 2)}{{(x - 8)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 7.2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 18, - 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 18$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{800}{{((18) - 8)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Subtraia $8$ de $18$ .

$\frac{800}{10^{3}}$

Etapa 10.1.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$\frac{800}{1000}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $800$ e $1000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $200$ de $800$ .

$\frac{200 (4)}{1000}$

Etapa 10.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Fatore $200$ de $1000$ .

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot 5}$

Etapa 10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot 5}$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{5}$

Etapa 11

$x = 18$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 18$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $18$ na expressão.

$f (18) = (18) (4 + \frac{50}{(18) - 8})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Cancele o fator comum de $50$ e $(18) - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1.1

Fatore $2$ de $50$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{(18) - 8})$

Etapa 12.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 9 - 8})$

Etapa 12.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot 9 + 2 \cdot - 4})$

Etapa 12.2.1.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 9 + 2 \cdot - 4$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot (9 - 4)})$

Etapa 12.2.1.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (18) = 18 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot (9 - 4)})$

Etapa 12.2.1.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (18) = 18 (4 + \frac{25}{9 - 4})$

Etapa 12.2.1.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$f (18) = 18 (4 + \frac{25}{5})$

Etapa 12.2.1.3

Divida $25$ por $5$ .

$f (18) = 18 (4 + 5)$

Etapa 12.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $4$ e $5$ .

$f (18) = 18 \cdot 9$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $18$ por $9$ .

$f (18) = 162$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $162$ .

$y = 162$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{800}{{((- 2) - 8)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Subtraia $8$ de $- 2$ .

$\frac{800}{{(- 10)}^{3}}$

Etapa 14.1.2

Eleve $- 10$ à potência de $3$ .

$\frac{800}{- 1000}$

Etapa 14.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum de $800$ e $- 1000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Fatore $200$ de $800$ .

$\frac{200 (4)}{- 1000}$

Etapa 14.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.2.1

Fatore $200$ de $- 1000$ .

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot - 5}$

Etapa 14.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{200 \cdot 4}{200 \cdot - 5}$

Etapa 14.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{- 5}$

Etapa 14.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{5}$

Etapa 15

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = (- 2) (4 + \frac{50}{(- 2) - 8})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Cancele o fator comum de $50$ e $(- 2) - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1

Fatore $2$ de $50$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{(- 2) - 8})$

Etapa 16.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot - 1 - 8})$

Etapa 16.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 4})$

Etapa 16.2.1.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 4$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 (25)}{2 \cdot (- 1 - 4)})$

Etapa 16.2.1.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot (- 1 - 4)})$

Etapa 16.2.1.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{25}{- 1 - 4})$

Etapa 16.2.1.2

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$f (- 2) = - 2 (4 + \frac{25}{- 5})$

Etapa 16.2.1.3

Divida $25$ por $- 5$ .

$f (- 2) = - 2 (4 - 5)$

Etapa 16.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $5$ de $4$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot - 1$

Etapa 16.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 2) = 2$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x (4 + \frac{50}{x - 8})$ .

$(18, 162)$ é um mínimo local

$(- 2, 2)$ é um máximo local

Etapa 18