Cálculo Exemplos

$y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 1

Escreva $y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ como uma função.

$f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 9$ e $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{- \frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.3.7

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Etapa 2.3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Etapa 2.3.8.2

Multiplique $e^{- \frac{x}{4}}$ por $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 2.4.2.3

Combine $- 9$ e $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 2.4.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 2.4.2.5

Para escrever $e^{- \frac{x}{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.4.2.6

Combine $e^{- \frac{x}{4}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Etapa 2.4.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Etapa 2.4.2.8

Mova $4$ para a esquerda de $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 2.4.2.9

Some $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ e $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 2.4.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{4}}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.4

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.8

Combine $e^{- \frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.9

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.2.10

Multiplique $e^{- \frac{x}{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- \frac{5}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Etapa 3.3.3

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4}))$

Etapa 3.3.6

Combine $e^{- \frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + 1 (\frac{5}{4}) \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.5

Combine $e^{- \frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.6

Para escrever $- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.7.1

Multiplique $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.7.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{16} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4 + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.9

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- 4 e^{- \frac{x}{4}} + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 3.4.2.10

Some $- 4 e^{- \frac{x}{4}}$ e $5 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.3.2

Combine $e^{- \frac{x}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Etapa 5.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 5.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 5.1.3.7

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Etapa 5.1.3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Etapa 5.1.3.8.2

Multiplique $e^{- \frac{x}{4}}$ por $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 5.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 5.1.4.2.1

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 5.1.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 5.1.4.2.3

Combine $- 9$ e $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 5.1.4.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 5.1.4.2.5

Para escrever $e^{- \frac{x}{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.1.4.2.6

Combine $e^{- \frac{x}{4}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Etapa 5.1.4.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Etapa 5.1.4.2.8

Mova $4$ para a esquerda de $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 5.1.4.2.9

Some $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ e $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 5.1.4.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Etapa 6.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - 5$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 5$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 5 e^{- - \frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $- - \frac{5}{4}$ .

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Etapa 10.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{1 (\frac{5}{4})} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Etapa 10.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- - \frac{5}{4}}}{16}$

Etapa 10.2.4

Multiplique $- - \frac{5}{4}$ .

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Etapa 10.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{1 (\frac{5}{4})}}{16}$

Etapa 10.2.4.2

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Etapa 10.3

Simplifique os termos.

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Etapa 10.3.1

Some $- 5 e^{\frac{5}{4}}$ e $e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{- 4 e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Etapa 10.3.2

Fatore $4$ de $- 4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{16}$

Etapa 10.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 (4)}$

Etapa 10.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 4}$

Etapa 10.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Etapa 10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Etapa 11

$x = - 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 5$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = ((- 5) + 9) \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Some $- 5$ e $9$ .

$f (- 5) = 4 \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Etapa 12.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 5) = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$y = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(- 5, 4 e^{\frac{5}{4}})$ é um máximo local

Etapa 14