Cálculo Exemplos

$y = (65 + x) (325 - 5 x)$

Etapa 1

Escreva $y = (65 + x) (325 - 5 x)$ como uma função.

$f (x) = (65 + x) (325 - 5 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 65 + x$ e $g (x) = 325 - 5 x$ .

$(65 + x) \frac{d}{d x} [325 - 5 x] + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $325 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [325] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(65 + x) (\frac{d}{d x} [325] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2.2

Como $325$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $325$ em relação a $x$ é $0$ .

$(65 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(65 + x) \frac{d}{d x} [- 5 x] + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(65 + x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(65 + x) (- 5 \cdot 1) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$(65 + x) \cdot - 5 + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2.6.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $65 + x$ .

$- 5 \cdot (65 + x) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $65 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [65] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) (\frac{d}{d x} [65] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.8

Como $65$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $65$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) \cdot 1$

Etapa 2.2.11

Multiplique $325 - 5 x$ por $1$ .

$- 5 (65 + x) + 325 - 5 x$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 \cdot 65 - 5 x + 325 - 5 x$

Etapa 2.3.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $- 5$ por $65$ .

$- 325 - 5 x + 325 - 5 x$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 325$ e $325$ .

$- 5 x + 0 - 5 x$

Etapa 2.3.2.3

Some $- 5 x$ e $0$ .

$- 5 x - 5 x$

Etapa 2.3.2.4

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$- 10 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 10 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 65 + x$ e $g (x) = 325 - 5 x$ .

$(65 + x) \frac{d}{d x} [325 - 5 x] + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $325 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [325] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(65 + x) (\frac{d}{d x} [325] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2.2

Como $325$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $325$ em relação a $x$ é $0$ .

$(65 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(65 + x) \frac{d}{d x} [- 5 x] + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(65 + x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(65 + x) (- 5 \cdot 1) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.2.6.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$(65 + x) \cdot - 5 + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2.6.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $65 + x$ .

$- 5 \cdot (65 + x) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [65 + x]$

Etapa 5.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $65 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [65] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) (\frac{d}{d x} [65] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.2.8

Como $65$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $65$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 (65 + x) + (325 - 5 x) \cdot 1$

Etapa 5.1.2.11

Multiplique $325 - 5 x$ por $1$ .

$- 5 (65 + x) + 325 - 5 x$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 \cdot 65 - 5 x + 325 - 5 x$

Etapa 5.1.3.2

Combine os termos.

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Etapa 5.1.3.2.1

Multiplique $- 5$ por $65$ .

$- 325 - 5 x + 325 - 5 x$

Etapa 5.1.3.2.2

Some $- 325$ e $325$ .

$- 5 x + 0 - 5 x$

Etapa 5.1.3.2.3

Some $- 5 x$ e $0$ .

$- 5 x - 5 x$

Etapa 5.1.3.2.4

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$f' (x) = - 10 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 10 x$ .

$- 10 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 x = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 10 x = 0$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $- 10 x = 0$ por $- 10$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $- 10 x = 0$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 10}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Divida $0$ por $- 10$ .

$x = 0$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = (65 + 0) (325 - 5 \cdot 0)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = (65 + 0) (325 - 5 \cdot 0)$

Etapa 11.2.2

Some $65$ e $0$ .

$f (0) = 65 (325 - 5 \cdot 0)$

Etapa 11.2.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$f (0) = 65 (325 + 0)$

Etapa 11.2.4

Some $325$ e $0$ .

$f (0) = 65 \cdot 325$

Etapa 11.2.5

Multiplique $65$ por $325$ .

$f (0) = 21125$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $21125$ .

$y = 21125$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = (65 + x) (325 - 5 x)$ .

$(0, 21125)$ é um máximo local

Etapa 13