Cálculo Exemplos

$y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Etapa 1

Escreva $y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ como uma função.

$f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $5.4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5.4 \cos (\frac{π x}{6})$ em relação a $x$ é $5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$ .

$5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$5.4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $5.4$ .

$- 5.4 (\sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{π}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{6}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5.4 \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Combine $\frac{π}{6}$ e $- 5.4$ .

$\frac{π \cdot - 5.4}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $π$ por $- 5.4$ .

$\frac{- 16.96460032}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.3

Combine $\frac{- 16.96460032}{6}$ e $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$\frac{- 16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $16.96460032$ de $16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6}$

Etapa 2.4.2

Fatore $6$ de $6$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Etapa 2.4.3

Separe as frações.

$- (\frac{16.96460032}{6} \cdot \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Etapa 2.4.4

Divida $16.96460032$ por $6$ .

$- (2.82743338 \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Etapa 2.4.5

Divida $\sin (\frac{π x}{6})$ por $1$ .

$- (2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}))$

Etapa 2.4.6

Multiplique $2.82743338$ por $- 1$ .

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 2.82743338$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$ em relação a $x$ é $- 2.82743338 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{6})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $\frac{π}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{6}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \cos (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Combine $\frac{π}{6}$ e $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2.82743338}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $π$ por $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.2.3

Combine $\frac{- 8.88264396}{6}$ e $\cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $8.88264396$ de $8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6}$

Etapa 3.4.2

Fatore $6$ de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Etapa 3.4.3

Separe as frações.

$f'' (x) = - (\frac{8.88264396}{6} \cdot \frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1})$

Etapa 3.4.4

Divida $8.88264396$ por $6$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 (\frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1}))$

Etapa 3.4.5

Divida $\cos (\frac{π x}{6})$ por $1$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 \cos (\frac{π x}{6}))$

Etapa 3.4.6

Multiplique $1.48044066$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 1.48044066 \cos (\frac{π x}{6})$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ por $- 2.82743338$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ por $- 2.82743338$ .

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2.82743338$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (\frac{π x}{6})$ por $1$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = \frac{0}{- 2.82743338}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $- 2.82743338$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{π x}{6} = \arcsin (0)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{π x}{6} = 0$

Etapa 8

Defina o numerador como igual a zero.

$π x = 0$

Etapa 9

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Divida $0$ por $π$ .

$x = 0$

Etapa 10

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{π x}{6} = π - 0$

Etapa 11

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Etapa 11.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Simplifique $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Etapa 11.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Etapa 11.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Etapa 11.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Etapa 11.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{6}{π} (π - 0)$

Etapa 11.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Simplifique $\frac{6}{π} (π - 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = \frac{6}{π} π$

Etapa 11.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{6}{π} π$

Etapa 11.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 6$

Etapa 12

A solução para a equação $\frac{π x}{6} = 0$ .

$x = 0, 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (0)}{6})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $0$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Fatore $6$ de $π (0)$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Etapa 14.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Etapa 14.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Etapa 14.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Etapa 14.1.2.4

Divida $π \cdot (0)$ por $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π \cdot (0))$

Etapa 14.2

Multiplique $π$ por $0$ .

$- 1.48044066 \cos (0)$

Etapa 14.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1.48044066 \cdot 1$

Etapa 14.4

Multiplique $- 1.48044066$ por $1$ .

$- 1.48044066$

Etapa 15

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = (5.4) \cos (\frac{π (0)}{6})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Fatore $6$ de $π (0)$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Etapa 16.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Etapa 16.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Etapa 16.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Etapa 16.2.1.2.4

Divida $π \cdot (0)$ por $1$ .

$f (0) = 5.4 \cos (π \cdot (0))$

Etapa 16.2.2

Multiplique $π$ por $0$ .

$f (0) = 5.4 \cos (0)$

Etapa 16.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 5.4 \cdot 1$

Etapa 16.2.4

Multiplique $5.4$ por $1$ .

$f (0) = 5.4$

Etapa 16.2.5

A resposta final é $5.4$ .

$y = 5.4$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (6)}{6})$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Cancele o fator comum.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Etapa 18.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π)$

Etapa 18.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 1.48044066 (- \cos (0))$

Etapa 18.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 18.4

Multiplique $- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1.48044066 \cdot - 1$

Etapa 18.4.2

Multiplique $- 1.48044066$ por $- 1$ .

$1.48044066$

Etapa 19

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = (5.4) \cos (\frac{π (6)}{6})$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (6) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Etapa 20.2.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (6) = 5.4 \cos (π)$

Etapa 20.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (6) = 5.4 (- \cos (0))$

Etapa 20.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (6) = 5.4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 20.2.4

Multiplique $5.4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (6) = 5.4 \cdot - 1$

Etapa 20.2.4.2

Multiplique $5.4$ por $- 1$ .

$f (6) = - 5.4$

Etapa 20.2.5

A resposta final é $- 5.4$ .

$y = - 5.4$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ .

$(0, 5.4)$ é um máximo local

$(6, - 5.4)$ é um mínimo local

Etapa 22