Cálculo Exemplos

$y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 1

Escreva $y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$ como uma função.

$f (x) = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{4}{x} + x$ e $g (x) = \frac{4}{x} - x$ .

$(\frac{4}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} - x] + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{x} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Etapa 2.2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{x} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.11

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.13

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Etapa 2.3.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{- 4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Etapa 2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Etapa 2.3.3.3

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{- 4}{x^{2}} + 1)$

Etapa 2.3.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- \frac{4}{x^{2}} + 1)$

Etapa 2.3.4

Reordene os termos.

$(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Expanda $(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} + x) - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1

Multiplique $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1.1

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.1.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{x^{2}}$ para o numerador.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.4

Reescreva $- 1 \frac{4}{x}$ como $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.1.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.2.2

Subtraia $\frac{4}{x}$ de $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - 2 \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.1

Multiplique $- 2 \frac{4}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.3.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.4

Expanda $(- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} - x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Etapa 2.3.5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1.1

Multiplique $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1.1.1

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.1.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1.1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{x^{2}}$ para o numerador.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.2.3

Fatore $x$ de $- x$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.2.4

Cancele o fator comum.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.2.5

Reescreva a expressão.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.3

Combine $\frac{- 4}{x}$ e $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.5

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Etapa 2.3.5.5.1.6

Multiplique $- x$ por $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} - x$

Etapa 2.3.5.5.2

Some $\frac{4}{x}$ e $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + 2 \frac{4}{x} - x$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $2 \frac{4}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.6.1

Combine $2$ e $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 4}{x} - x$

Etapa 2.3.5.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$

Etapa 2.3.6

Combine os termos opostos em $- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Some $- \frac{8}{x}$ e $\frac{8}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} + 0 - x$

Etapa 2.3.6.2

Some $- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}}$ e $0$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} - x$

Etapa 2.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x - x + \frac{- 16 - 16}{x^{3}}$

Etapa 2.3.8

Subtraia $16$ de $- 16$ .

$- x - x + \frac{- 32}{x^{3}}$

Etapa 2.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x - x - \frac{32}{x^{3}}$

Etapa 2.3.10

Subtraia $x$ de $- x$ .

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{32}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 3.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 3.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 3$ por $- 32$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 x^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 3.4.2

Combine $96$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{96}{x^{4}}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{96}{x^{4}} - 2$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}} = 0$

Etapa 5

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 6

Nenhum extremo local

Etapa 7