Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{5 x} + e^{- 5 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Etapa 2.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Etapa 2.5.3.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} - 5 \cdot e^{- 5 x})$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x}) + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Etapa 2.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} e^{5 x} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Etapa 2.6.2.2

Combine $\frac{5}{8}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Etapa 2.6.2.3

Combine $- 5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5}{8} e^{- 5 x}$

Etapa 2.6.2.4

Combine $\frac{- 5}{8}$ e $e^{- 5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5 e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 2.6.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{5 x}}{8}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 e^{5 x}}{8}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{5 x}}{8}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $\frac{5}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 e^{5 x}}{8}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot \frac{d}{d x} (e^{5 x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (e^{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.6

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{8} \cdot (5 \cdot e^{5 x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.7

Combine $5$ e $\frac{5}{8}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 5}{8} \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.8

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{25}{8} \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.2.9

Combine $\frac{25}{8}$ e $e^{5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- 5 x}}{8})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- \frac{5}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{8} \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 5 x$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Etapa 3.3.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Etapa 3.3.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} - \frac{5}{8} \cdot (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + 5 (\frac{5}{8}) \cdot e^{- 5 x}$

Etapa 3.3.8

Combine $5$ e $\frac{5}{8}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{5 \cdot 5}{8} \cdot e^{- 5 x}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $5$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{25}{8} \cdot e^{- 5 x}$

Etapa 3.3.10

Combine $\frac{25}{8}$ e $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = \frac{25 e^{5 x}}{8} + \frac{25 e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + e^{- 5 x}]$

Etapa 5.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{5 x} + e^{- 5 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}])$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 5.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 5 x$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 5.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Etapa 5.1.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} + e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Etapa 5.1.5.3.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $e^{- 5 x}$ .

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x} - 5 \cdot e^{- 5 x})$

Etapa 5.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} (5 e^{5 x}) + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Etapa 5.1.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} e^{5 x} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Etapa 5.1.6.2.2

Combine $\frac{5}{8}$ e $e^{5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{1}{8} (- 5 e^{- 5 x})$

Etapa 5.1.6.2.3

Combine $- 5$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5}{8} e^{- 5 x}$

Etapa 5.1.6.2.4

Combine $\frac{- 5}{8}$ e $e^{- 5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} + \frac{- 5 e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 5.1.6.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{8} - \frac{5 e^{- 5 x}}{8} = 0$

Etapa 6.2

Mova $- \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$\frac{5 e^{5 x}}{8} = \frac{5 e^{- 5 x}}{8}$

Etapa 6.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$5 e^{5 x} = 5 e^{- 5 x}$

Etapa 6.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5 e^{5 x}) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Etapa 6.5

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva $\ln (5 e^{5 x})$ como $\ln (5) + \ln (e^{5 x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{5 x}) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Etapa 6.5.2

Expanda $\ln (e^{5 x})$ movendo $5 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (5) + 5 x \ln (e) = \ln (5 e^{- 5 x})$

Etapa 6.5.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (5) + 5 x \cdot 1 = \ln (5 e^{- 5 x})$

Etapa 6.5.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5 e^{- 5 x})$

Etapa 6.6

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Reescreva $\ln (5 e^{- 5 x})$ como $\ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) + \ln (e^{- 5 x})$

Etapa 6.6.2

Expanda $\ln (e^{- 5 x})$ movendo $- 5 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) - 5 x \ln (e)$

Etapa 6.6.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) - 5 x \cdot 1$

Etapa 6.6.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (5) - 5 x$

Etapa 6.7

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (5) - \ln (5) = - 5 x - 5 x$

Etapa 6.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5}{5}) = - 5 x - 5 x$

Etapa 6.9

Divida $5$ por $5$ .

$\ln (1) = - 5 x - 5 x$

Etapa 6.10

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 = - 5 x - 5 x$

Etapa 6.11

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$0 = - 10 x$

Etapa 6.12

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 10 x = 0$

Etapa 6.13

Divida cada termo em $- 10 x = 0$ por $- 10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.13.1

Divida cada termo em $- 10 x = 0$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Etapa 6.13.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.13.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.13.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Etapa 6.13.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 10}$

Etapa 6.13.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.13.3.1

Divida $0$ por $- 10$ .

$x = 0$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{25 e^{5 (0)}}{8} + \frac{25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{25 e^{5 (0)} + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{25 e^{0} + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 10.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{25 \cdot 1 + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $25$ por $1$ .

$\frac{25 + 25 e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 10.2.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$\frac{25 + 25 e^{0}}{8}$

Etapa 10.2.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{25 + 25 \cdot 1}{8}$

Etapa 10.2.6

Multiplique $25$ por $1$ .

$\frac{25 + 25}{8}$

Etapa 10.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Some $25$ e $25$ .

$\frac{50}{8}$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum de $50$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Fatore $2$ de $50$ .

$\frac{2 (25)}{8}$

Etapa 10.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{25}{4}$

Etapa 11

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{e^{5 (0)} + e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 12.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- 5 \cdot 0}}{8}$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{8}$

Etapa 12.2.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{8}$

Etapa 12.2.1.5

Some $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{2}{8}$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (0) = \frac{2 (1)}{8}$

Etapa 12.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 12.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = \frac{1}{4}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{e^{5 x} + e^{- 5 x}}{8}$ .

$(0, \frac{1}{4})$ é um mínimo local

Etapa 14