Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 1

Escreva $y = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ como ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{4} - 3 x + 5$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.12

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.13

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + 0)$

Etapa 2.14

Some $4 x^{3} - 3$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$

Etapa 2.15

Simplifique.

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Etapa 2.15.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$ .

$(4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.15.2

Multiplique $4 x^{3} - 3$ por $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3} - 3}{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3} - 3}{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x^{3} - 3$ e $g (x) = {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.4

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 3) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.5.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.5.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (12 x^{2} + 0) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.6.1

Some $12 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (12 x^{2}) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.5.6.2

Mova $12$ para a esquerda de ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot ({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}) - (4 x^{3} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{4} - 3 x + 5$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 3 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 3 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.11

Combine frações.

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Etapa 3.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.11.3

Mova ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} - 3 x + 5))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.14

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.16

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} (5)))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.17

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3 + 0))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.18

Some $4 x^{3} - 3$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x^{3} - 3))}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.19

Eleve $4 x^{3} - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.20

Eleve $4 x^{3} - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - (4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.22

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.23

Combine $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(4 x^{3} - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{{(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.24

Para escrever $12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} \cdot \frac{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.25

Combine $12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ e $\frac{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{12 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} (2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.27

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.28

Multiplique ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.28.1

Mova ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 ({(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.28.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.28.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.28.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.28.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.29

Simplifique $24 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{1} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$

Etapa 3.30

Reescreva $\frac{\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} - 3 x + 5}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4} - 3 x + 5})$

Etapa 3.31

Multiplique $\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{4} - 3 x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} - 3 x + 5)}$

Etapa 3.32

Eleve $x^{4} - 3 x + 5$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 ((x^{4} - 3 x + 5) {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 3.33

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.34

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.34.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.34.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 3.34.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.35

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{2 (2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 3.36

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (x^{4} - 3 x + 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37

Simplifique.

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Etapa 3.37.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(24 x^{4} + 24 (- 3 x) + 24 \cdot 5) x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{4} x^{2} + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.37.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.37.3.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.37.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (x^{2} x^{4}) + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{24 x^{2 + 4} + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.1.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 x) x^{2} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.37.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 (x^{2} x)) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.37.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 (x^{2} x)) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 x^{2 + 1}) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} + 24 (- 3 x^{3}) + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $24$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 24 \cdot (5 x^{2}) - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.4

Multiplique $24$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - {(4 x^{3} - 3)}^{2}}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.5

Reescreva ${(4 x^{3} - 3)}^{2}$ como $(4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - ((4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3))}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.6

Expanda $(4 x^{3} - 3) (4 x^{3} - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.37.3.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 x^{3} (4 x^{3} - 3) - 3 (4 x^{3} - 3))}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 x^{3} (4 x^{3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3} - 3))}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 x^{3} (4 x^{3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.37.3.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.37.3.1.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 x^{3} x^{3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.37.3.1.7.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 (x^{3} x^{3})) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 x^{3 + 3}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (4 \cdot (4 x^{6}) + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} + 4 x^{3} \cdot - 3 - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 12 x^{3} - 3 (4 x^{3}) - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.1.5

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 12 x^{3} - 12 x^{3} - 3 \cdot - 3)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 12 x^{3} - 12 x^{3} + 9)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.7.2

Subtraia $12 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6} - 24 x^{3} + 9)}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - (16 x^{6}) - (- 24 x^{3}) - 1 \cdot 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.9

Simplifique.

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Etapa 3.37.3.1.9.1

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - 16 x^{6} - (- 24 x^{3}) - 1 \cdot 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.9.2

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - 16 x^{6} + 24 x^{3} - 1 \cdot 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.1.9.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{24 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} - 16 x^{6} + 24 x^{3} - 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.2

Subtraia $16 x^{6}$ de $24 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{6} - 72 x^{3} + 120 x^{2} + 24 x^{3} - 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.37.3.3

Some $- 72 x^{3}$ e $24 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{6} - 48 x^{3} + 120 x^{2} - 9}{4 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ como ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{4} - 3 x + 5$ .

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Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 3 x + 5$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.7

Combine frações.

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Etapa 5.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.7.3

Mova ${(x^{4} - 3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x + 5]$

Etapa 5.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.1.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.1.12

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 5.1.13

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3 + 0)$

Etapa 5.1.14

Some $4 x^{3} - 3$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$

Etapa 5.1.15

Simplifique.

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Etapa 5.1.15.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} - 3)$ .

$(4 x^{3} - 3) \frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.15.2

Multiplique $4 x^{3} - 3$ por $\frac{1}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x^{3} - 3}{2 {(x^{4} - 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x^{3} - 3 = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x^{3} = 3$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $4 x^{3} = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Etapa 6.3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 6.3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 6.3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 6.3.4.3.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 6.3.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 6.3.4.3.4

Some $1$ e $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 6.3.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 6.3.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 6.3.4.3.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 6.3.4.3.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 6.3.4.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 6.3.4.3.5.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 6.3.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 6.3.4.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 6.3.4.4.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 6.3.4.4.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 6.3.4.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 6.3.4.4.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.4.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Etapa 6.3.4.4.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Etapa 6.3.4.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.5.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Etapa 6.3.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{6} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{8 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{6}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{6}$ como $6^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{8 \frac{{(6^{\frac{1}{3}})}^{6}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{1}{3} \cdot 6}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{6}{3}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{8 \frac{6^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \frac{6^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{8 \frac{6^{2}}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{8 \frac{36}{2^{6}} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.3

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$\frac{8 (\frac{36}{64}) - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.4

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.4.1

Fatore $8$ de $64$ .

$\frac{8 \frac{36}{8 (8)} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \frac{36}{8 \cdot 8} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{36}{8} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.5

Cancele o fator comum de $36$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.5.1

Fatore $4$ de $36$ .

$\frac{\frac{4 (9)}{8} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 2} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{3} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{3}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.7

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.7.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.7.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6^{1}}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{9}{2} - 48 \frac{6}{2^{3}} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.8

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 48 (\frac{6}{8}) + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.9

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.9.1

Fatore $8$ de $- 48$ .

$\frac{\frac{9}{2} + 8 (- 6) \frac{6}{8} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{9}{2} + 8 \cdot - 6 \frac{6}{8} + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{9}{2} - 6 \cdot 6 + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.10

Multiplique $- 6$ por $6$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.11

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.12.1

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ como $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.12.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 120 \frac{\sqrt[3]{36}}{4} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.14

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.14.1

Fatore $4$ de $120$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 4 (30) \frac{\sqrt[3]{36}}{4} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 4 \cdot 30 \frac{\sqrt[3]{36}}{4} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{9}{2} - 36 + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.15

Para escrever $- 36$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.16

Combine $- 36$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{9 - 36 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.18.1

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$\frac{\frac{9 - 72}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.18.2

Subtraia $72$ de $9$ .

$\frac{\frac{- 63}{2} + 30 \sqrt[3]{36} - 9}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.19

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 63}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.20

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 63}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 63 - 9 \cdot 2}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.22

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.22.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{\frac{- 63 - 18}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.22.2

Subtraia $18$ de $- 63$ .

$\frac{\frac{- 81}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{81}{2} + 30 \sqrt[3]{36}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.24

Para escrever $30 \sqrt[3]{36}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{81}{2} + 30 \sqrt[3]{36} \cdot \frac{2}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.25

Combine $30 \sqrt[3]{36}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{81}{2} + \frac{30 \sqrt[3]{36} \cdot 2}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 81 + 30 \sqrt[3]{36} \cdot 2}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.27

Multiplique $2$ por $30$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {({(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ como $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.2.2

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.2.3

Reescreva $1296$ como $6^{3} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.2.3.1

Fatore $216$ de $1296$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.2.3.2

Reescreva $216$ como $6^{3}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.5

Combine $- 3$ e $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - (\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.2.3

Escreva $5$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{5}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.2.4

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{5}{1} \cdot \frac{8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.2.5

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.2.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4 + 5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.4.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 5 \cdot 8}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.4.2

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 40}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.5

Subtraia $12 \sqrt[3]{6}$ de $3 \sqrt[3]{6}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 {(\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{4 \frac{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}{8^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 10.3

Combine $4$ e $\frac{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}{8^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}}{\frac{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}{8^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 10.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2} \cdot \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.5

Multiplique $\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2} \cdot \frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Multiplique $\frac{- 81 + 60 \sqrt[3]{36}}{2}$ por $\frac{8^{\frac{3}{2}}}{4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{2 (4 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{8 {(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.6

Mova $8^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{- 1}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7

Multiplique $8^{\frac{3}{2}}$ por $8^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1

Mova $8^{- 1}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot (8^{- 1} \cdot 8^{\frac{3}{2}})}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{- 1 + \frac{3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{- 2 + 3}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.7.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{(- 81 + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.8

Reescreva $- 81$ como $- 1 (81)$ .

$\frac{(- 1 (81) + 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.9

Fatore $- 1$ de $60 \sqrt[3]{36}$ .

$\frac{(- 1 (81) - (- 60 \sqrt[3]{36})) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.10

Fatore $- 1$ de $- 1 (81) - (- 60 \sqrt[3]{36})$ .

$\frac{- 1 (81 - 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(81 - 60 \sqrt[3]{36}) \cdot 8^{\frac{1}{2}}}{{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ como $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.2.2

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.2.3

Reescreva $1296$ como $6^{3} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.3.1

Fatore $216$ de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.2.3.2

Reescreva $216$ como $6^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.3.2

Cancele o fator comum de $6$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.3.3

Combine $- 3$ e $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 5}$

Etapa 12.2.4

Para escrever $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 5}$

Etapa 12.2.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 5}$

Etapa 12.2.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 5}$

Etapa 12.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 5}$

Etapa 12.2.7

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 5 \cdot \frac{8}{8}}$

Etapa 12.2.8

Combine $5$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8}}$

Etapa 12.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4 + 5 \cdot 8}{8}}$

Etapa 12.2.10

Reescreva $\frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4 + 5 \cdot 8}{8}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 12.2.10.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 5 \cdot 8}{8}}$

Etapa 12.2.10.2

Multiplique $5$ por $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6} + 40}{8}}$

Etapa 12.2.10.3

Subtraia $12 \sqrt[3]{6}$ de $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \sqrt{\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8}}$

Etapa 12.2.11

Reescreva $\sqrt{\frac{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}{8}}$ como $\frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{8}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{8}}$

Etapa 12.2.12

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.2.12.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 12.2.12.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 12.2.12.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.2.12.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 12.2.13

Multiplique $\frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 12.2.14

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 12.2.14.1

Multiplique $\frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 12.2.14.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 12.2.14.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 12.2.14.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 12.2.14.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 12.2.14.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 12.2.14.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 12.2.14.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12.2.14.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.2.14.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.2.14.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.2.14.7.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.2.14.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.2.14.7.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{- 9 \sqrt[3]{6} + 40} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.2.15

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.2.16

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4}$

Etapa 12.2.17

A resposta final é $\frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sqrt{x^{4} - 3 x + 5}$ .

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{\sqrt{(- 9 \sqrt[3]{6} + 40) \cdot 2}}{4})$ é um mínimo local

Etapa 14