Cálculo Exemplos

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 2.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 2.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 2.8.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 2.10

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 2.11

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2.12

Combine $- 7$ e $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $- \frac{7}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ como ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Etapa 3.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Etapa 3.9

Combine $x^{- \frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Etapa 3.10

Multiplique.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{7}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $\frac{7}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Etapa 3.11

Multiplique $\frac{7}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{7 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.12

Multiplique.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $3$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Etapa 3.12.3

Mova $x^{- \frac{5}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 5

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 6

Nenhum extremo local

Etapa 7