Cálculo Exemplos

$y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ como uma função.

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ em relação a $x$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{5}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{1}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\cos (\frac{x}{2})$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2}) \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.3.2.3

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{5 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Combine frações.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ por $1$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $\frac{5}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Combine $\frac{5}{4}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.3

Combine frações.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Etapa 5

Defina o numerador como igual a zero.

$5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Etapa 6

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1

Divida cada termo em $5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ por $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

Etapa 6.1.2.1.2

Divida $\cos (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{5}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Etapa 6.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 6.4

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

Etapa 6.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.6.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 6.6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 6.6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 6.6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.6.2.2.1

Simplifique $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 6.6.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.6.2.2.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.6.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.6.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.6.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.6.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Etapa 6.6.2.2.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Etapa 6.6.2.2.1.6

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Etapa 6.7

A solução para a equação $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{8}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{5 \cdot 1}{8}$

Etapa 8.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{5}{8}$

Etapa 9

$x = π$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (π))$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot 1$

Etapa 10.2.3

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f (π) = \frac{5}{2}$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 3 π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{8}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{8}$

Etapa 12.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Etapa 12.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{8}$

Etapa 12.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- \frac{- 5}{8}$

Etapa 12.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{5}{8}$

Etapa 12.3

Multiplique $- - \frac{5}{8}$ .

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Etapa 12.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{5}{8})$

Etapa 12.3.2

Multiplique $\frac{5}{8}$ por $1$ .

$\frac{5}{8}$

Etapa 13

$x = 3 π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3 π$ é um mínimo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = 3 π$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $3 π$ na expressão.

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (3 π))$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $\frac{1}{2} (3 π)$ .

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Etapa 14.2.1.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} \cdot π)$

Etapa 14.2.1.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $π$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Etapa 14.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot - 1$

Etapa 14.2.5

Multiplique $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 14.2.5.1

Combine $\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$f (3 π) = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Etapa 14.2.5.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (3 π) = \frac{- 5}{2}$

Etapa 14.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (3 π) = - \frac{5}{2}$

Etapa 14.2.7

A resposta final é $- \frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{5}{2}$

Etapa 15

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$(π, \frac{5}{2})$ é um máximo local

$(3 π, - \frac{5}{2})$ é um mínimo local

Etapa 16