Cálculo Exemplos

$y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Etapa 1

Escreva $y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ como uma função.

$f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3}{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Etapa 2.3.2.3

Combine $\sin (\frac{3 x}{2})$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Etapa 2.3.2.4

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{3 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ por $1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $\frac{9}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{3 x}{2}))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Combine $\cos (\frac{3 x}{2})$ e $\frac{9}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Etapa 3.3.2

Mova $9$ para a esquerda de $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Etapa 3.3.3

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.4.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot 1$

Etapa 3.3.6

Multiplique $\frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} = 0$

Etapa 5

Defina o numerador como igual a zero.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Etapa 6

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Divida cada termo em $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 6.1.2.1.2

Divida $\sin (\frac{3 x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Divida $0$ por $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Etapa 6.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Etapa 6.4

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x = 0$

Etapa 6.5

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Etapa 6.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x = 0$

Etapa 6.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Etapa 6.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 6.7.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 6.7.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 6.7.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 6.7.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 6.7.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 6.7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Etapa 6.7.2.2.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.8

A solução para a equação $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{8}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $2$ de $3 (0)$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{8}$

Etapa 8.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{8}$

Etapa 8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{8}$

Etapa 8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{8}$

Etapa 8.1.2.4

Divida $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{8}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{27 \cos (0)}{8}$

Etapa 8.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{27 \cdot 1}{8}$

Etapa 8.3

Multiplique $27$ por $1$ .

$\frac{27}{8}$

Etapa 9

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (0)$

Etapa 10.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 10.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2}$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{8}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Etapa 12.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{8}$

Etapa 12.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Reduza a expressão $\frac{6 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Etapa 12.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{8}$

Etapa 12.3.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{8}$

Etapa 12.3.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{8}$

Etapa 12.3.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Etapa 12.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Etapa 12.4.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{27 \cos (π)}{8}$

Etapa 12.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{27 (- \cos (0))}{8}$

Etapa 12.4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{27 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Etapa 12.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{27 \cdot - 1}{8}$

Etapa 12.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$\frac{- 27}{8}$

Etapa 12.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{27}{8}$

Etapa 13

$x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2 π}{3}$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Etapa 14.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Etapa 14.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Etapa 14.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Etapa 14.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (π)$

Etapa 14.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- \cos (0))$

Etapa 14.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Etapa 14.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Etapa 14.2.6

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 (\frac{3}{2})$

Etapa 14.2.6.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}$

Etapa 14.2.7

A resposta final é $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Etapa 15

Esses são os extremos locais para $f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, - \frac{3}{2})$ é um mínimo local

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3}{2})$ é um máximo local

Etapa 16