Cálculo Exemplos

$y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = - 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.14.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.14.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.2.2.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.2.3

Some $4$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.6

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.7

Multiplique $- 15 x^{4}$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.8

Multiplique $6 x$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ .

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Etapa 2.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3.3

Some $1$ e $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.8

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Combine os termos opostos em $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Subtraia $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.2.2

Some $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.3

Some $- 15 x^{6}$ e $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3.4

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Fatore $- 1$ de $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Fatore $- 1$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Fatore $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.9

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.10

Fatore $- 1$ de $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.11

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.12

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.13

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.14

Reescreva $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ como $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (9 x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{6}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.5

Multiplique $6$ por $9$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.6

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.8

Multiplique $4$ por $15$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.12

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.14

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.15

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + 0) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3.16

Some $54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.2

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 3.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $\frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Etapa 3.12.2

Some $- \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13

Simplifique.

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Etapa 3.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) + (- 4 (9 x^{6}) - 4 (15 x^{4}) - 4 (- x^{2}) - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.13.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (54 x^{5}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.13.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} x^{5} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.2.2.1

Mova $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x^{5} x^{2}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{5 + 2} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.2.3

Some $5$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{3 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.4.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.2.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.13.3.1.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

Etapa 3.13.3.1.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.6.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.7

Mova $- 6$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.8

Multiplique $54 x^{5}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.9

Multiplique $60 x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.10

Multiplique $- 2 x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.2.11

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.3

Some $60 x^{5}$ e $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.4

Some $- 2 x^{3}$ e $60 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.5

Multiplique $x^{6}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{6}$ .

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Etapa 3.13.3.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{1 + 6}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.5.3

Some $1$ e $6$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{7}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.6

Multiplique $9$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.7.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 3.13.3.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{1 + 4}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.7.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{5}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.8

Multiplique $15$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.9.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.9.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.13.3.1.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{1 + 2}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.9.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{3}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.10

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.11

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.13.3.1.11.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.11.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x^{2}) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.12

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.1.13

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.2

Subtraia $36 x^{7}$ de $54 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.3

Subtraia $60 x^{5}$ de $114 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.4

Some $58 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.5

Some $- 6 x^{2}$ e $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 2 x - 6 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.3.6

Subtraia $4 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4

Fatore $2$ de $18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6$ .

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Etapa 3.13.4.1

Fatore $2$ de $18 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.2

Fatore $2$ de $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.3

Fatore $2$ de $62 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.4

Fatore $2$ de $18 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.5

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.6

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.7

Fatore $2$ de $2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.8

Fatore $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.9

Fatore $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.10

Fatore $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.11

Fatore $2$ de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.2.14.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.14.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.3.1.2.2.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.2.3

Some $4$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.3.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.6

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.7

Multiplique $- 15 x^{4}$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.8

Multiplique $6 x$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.3

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.3.3

Some $1$ e $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.7.1

Mova $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.8

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Etapa 5.1.3.3.2.1

Subtraia $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.2.2

Some $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.3

Some $- 15 x^{6}$ e $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.4

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.5

Fatore $- 1$ de $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.7

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.8

Fatore $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.9

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.10

Fatore $- 1$ de $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.11

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.12

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.13

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.14

Reescreva $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ como $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 0.16402146, 0.64778788$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0.16402146, 0.64778788$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0.16402146$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 (9 {(0.16402146)}^{7} + 27 {(0.16402146)}^{5} + 31 {(0.16402146)}^{3} + 9 {(0.16402146)}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({(0.16402146)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Eleve $0.16402146$ à potência de $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.00000319 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $9$ por $0.00000319$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.3

Eleve $0.16402146$ à potência de $5$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot 0.00011871 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $27$ por $0.00011871$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.5

Eleve $0.16402146$ à potência de $3$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot 0.00441267 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.6

Multiplique $31$ por $0.00441267$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.7

Eleve $0.16402146$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot 0.02690304 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.8

Multiplique $9$ por $0.02690304$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.9

Multiplique $- 3$ por $0.16402146$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.10

Some $0.00002874$ e $0.00320528$ .

$- \frac{2 (0.00323403 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.11

Some $0.00323403$ e $0.13679296$ .

$- \frac{2 (0.140027 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.12

Some $0.140027$ e $0.24212737$ .

$- \frac{2 (0.38215438 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.13

Subtraia $0.4920644$ de $0.38215438$ .

$- \frac{2 (- 0.10991002 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.1.14

Subtraia $3$ de $- 0.10991002$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $0.16402146$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{(0.02690304 + 1)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Some $0.02690304$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{1.02690304}^{3}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $1.02690304$ à potência de $3$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{1.08289991}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $2$ por $- 3.10991002$ .

$- \frac{- 6.21982004}{1.08289991}$

Etapa 10.3.2

Divida $- 6.21982004$ por $1.08289991$ .

$- - 5.74367024$

Etapa 10.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 5.74367024$ .

$5.74367024$

Etapa 11

$x = 0.16402146$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.16402146$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0.16402146$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0.16402146$ na expressão.

$f (0.16402146) = \frac{- 3 {(0.16402146)}^{5} + 3 {(0.16402146)}^{2} - (0.16402146)}{{(0.16402146)}^{2} + 1}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $0.16402146$ à potência de $5$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 3 \cdot 0.00011871 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $0.00011871$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $0.16402146$ à potência de $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot 0.02690304 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $3$ por $0.02690304$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0.16402146$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Etapa 12.2.1.6

Some $- 0.00035614$ e $0.08070912$ .

$f (0.16402146) = \frac{0.08035298 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Etapa 12.2.1.7

Subtraia $0.16402146$ de $0.08035298$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Etapa 12.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Eleve $0.16402146$ à potência de $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{0.02690304 + 1}$

Etapa 12.2.2.2

Some $0.02690304$ e $1$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{1.02690304}$

Etapa 12.2.3

Divida $- 0.08366848$ por $1.02690304$ .

$f (0.16402146) = - 0.08147651$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $- 0.08147651$ .

$y = - 0.08147651$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 0.64778788$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 (9 {(0.64778788)}^{7} + 27 {(0.64778788)}^{5} + 31 {(0.64778788)}^{3} + 9 {(0.64778788)}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({(0.64778788)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $0.64778788$ à potência de $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.04786628 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $9$ por $0.04786628$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.3

Eleve $0.64778788$ à potência de $5$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot 0.11406806 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.4

Multiplique $27$ por $0.11406806$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.5

Eleve $0.64778788$ à potência de $3$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot 0.27183067 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.6

Multiplique $31$ por $0.27183067$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.7

Eleve $0.64778788$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot 0.41962913 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.8

Multiplique $9$ por $0.41962913$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.9

Multiplique $- 3$ por $0.64778788$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.10

Some $0.43079657$ e $3.07983788$ .

$- \frac{2 (3.51063445 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.11

Some $3.51063445$ e $8.42675077$ .

$- \frac{2 (11.93738522 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.12

Some $11.93738522$ e $3.77666224$ .

$- \frac{2 (15.71404747 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.13

Subtraia $1.94336364$ de $15.71404747$ .

$- \frac{2 (13.77068382 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.1.14

Subtraia $3$ de $13.77068382$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Eleve $0.64778788$ à potência de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{(0.41962913 + 1)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Some $0.41962913$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{1.41962913}^{3}}$

Etapa 14.2.3

Eleve $1.41962913$ à potência de $3$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{2.86104516}$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $2$ por $10.77068382$ .

$- \frac{21.54136765}{2.86104516}$

Etapa 14.3.2

Divida $21.54136765$ por $2.86104516$ .

$- 1 \cdot 7.52919523$

Etapa 14.3.3

Multiplique $- 1$ por $7.52919523$ .

$- 7.52919523$

Etapa 15

$x = 0.64778788$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.64778788$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 0.64778788$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $0.64778788$ na expressão.

$f (0.64778788) = \frac{- 3 {(0.64778788)}^{5} + 3 {(0.64778788)}^{2} - (0.64778788)}{{(0.64778788)}^{2} + 1}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $0.64778788$ à potência de $5$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 3 \cdot 0.11406806 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $0.11406806$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $0.64778788$ à potência de $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot 0.41962913 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $3$ por $0.41962913$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0.64778788$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Etapa 16.2.1.6

Some $- 0.3422042$ e $1.25888741$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.9166832 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Etapa 16.2.1.7

Subtraia $0.64778788$ de $0.9166832$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Eleve $0.64778788$ à potência de $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{0.41962913 + 1}$

Etapa 16.2.2.2

Some $0.41962913$ e $1$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{1.41962913}$

Etapa 16.2.3

Divida $0.26889532$ por $1.41962913$ .

$f (0.64778788) = 0.18941237$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $0.18941237$ .

$y = 0.18941237$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ .

$(0.16402146, - 0.08147651)$ é um mínimo local

$(0.64778788, 0.18941237)$ é um máximo local

Etapa 18