Cálculo Exemplos

$y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.5.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.5.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.5.5.2

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.5.5.3

Combine $27$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.1.2

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.1.3

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.2.4

Subtraia $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.3

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e ${(x + 1)}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 2.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.2.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.7

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{27 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ em relação a $x$ é $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 3.2

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{({(x + 1)}^{4})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.6.1

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.5.6.2

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.7

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.7.2

Fatore ${(x + 1)}^{3}$ de ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Fatore ${(x + 1)}^{3}$ de ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.7.2.2

Fatore ${(x + 1)}^{3}$ de $- 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.7.2.3

Fatore ${(x + 1)}^{3}$ de ${(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 3.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Fatore ${(x + 1)}^{3}$ de ${(x + 1)}^{8}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.12

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.12.3

Combine $- 27$ e $\frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.12.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.1

Expanda $(x + 1) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + 0 - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.2.3

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2}) + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.4

Multiplique $2$ por $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.5

Multiplique $27$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.3.1.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 (x \cdot x)) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x^{2}) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.7

Multiplique $- 4$ por $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.8

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (8 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.1.9

Multiplique $8$ por $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.3.2

Subtraia $108 x^{2}$ de $54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1

Fatore $54$ de $- 54 x^{2} - 54 + 216 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.1

Fatore $54$ de $- 54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.4.1.2

Fatore $54$ de $- 54$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.4.1.3

Fatore $54$ de $216 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.4.1.4

Fatore $54$ de $54 (- x^{2}) + 54 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.4.1.5

Fatore $54$ de $54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1 + 4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.4.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.6

Fatore $- 1$ de $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) - (- 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.8

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.10

Reescreva $- (x^{2} - 4 x + 1)$ como $- 1 (x^{2} - 4 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- 1 (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 3.13.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}})$

Etapa 3.13.13

Multiplique $\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Etapa 5.1.2

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 5.1.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.3.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.5.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.5.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.5.5.2

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.5.5.3

Combine $27$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1.1

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.2.1.2

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.2.1.3

Fatore $27 {(x + 1)}^{2} x$ de $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.2.4

Subtraia $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.3

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e ${(x + 1)}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.3.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 5.1.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.3.2.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.1.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.1.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.1.6.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.1.6.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.1.6.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.1.6.7

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.1.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$27 x (x - 2) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $27 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 1)}^{4} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{54 ({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1)}{{((0) + 1)}^{5}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{54 (0 - 4 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{54 (0 + 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Etapa 10.1.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{54 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Etapa 10.1.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{5}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{1^{5}}$

Etapa 10.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{54 \cdot 1}{1}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $54$ por $1$ .

$\frac{54}{1}$

Etapa 10.3.2

Divida $54$ por $1$ .

$54$

Etapa 11

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{27 {(0)}^{2}}{{((0) + 1)}^{3}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{3}}$

Etapa 12.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1^{3}}$

Etapa 12.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1}$

Etapa 12.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Multiplique $27$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Etapa 12.2.3.2

Divida $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{54 ({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1)}{{((2) + 1)}^{5}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{54 (4 - 4 \cdot 2 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{54 (4 - 8 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Etapa 14.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{54 (- 4 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Etapa 14.1.4

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{5}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Some $2$ e $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{3^{5}}$

Etapa 14.2.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{243}$

Etapa 14.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $54$ por $- 3$ .

$\frac{- 162}{243}$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum de $- 162$ e $243$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Fatore $81$ de $- 162$ .

$\frac{81 (- 2)}{243}$

Etapa 14.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.2.1

Fatore $81$ de $243$ .

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Etapa 14.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Etapa 14.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{3}$

Etapa 14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3}$

Etapa 15

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{27 {(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{{(2 + 1)}^{3}}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Some $2$ e $1$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{3^{3}}$

Etapa 16.2.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{27}$

Etapa 16.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1

Multiplique $27$ por $4$ .

$f (2) = \frac{108}{27}$

Etapa 16.2.3.2

Divida $108$ por $27$ .

$f (2) = 4$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(2, 4)$ é um máximo local

Etapa 18