Cálculo Exemplos

$y = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 250 + 33 x + 0.1 x^{2}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [250 + 33 x + 0.1 x^{2}] - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $250 + 33 x + 0.1 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como $250$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $250$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [33 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.4

Como $33$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $33 x$ em relação a $x$ é $33 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.6

Multiplique $33$ por $1$ .

$\frac{x (33 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.7

Como $0.1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.1 x^{2}$ em relação a $x$ é $0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (33 + 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (33 + 0.1 (2 x)) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.9

Multiplique $2$ por $0.1$ .

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Mova $33$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{33 x + 0.2 x \cdot x - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{33 x + 0.2 (x \cdot x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $250$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.5

Multiplique $33$ por $- 1$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.1.6

Multiplique $0.1$ por $- 1$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.2

Combine os termos opostos em $33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Subtraia $33 x$ de $33 x$ .

$\frac{0.2 x^{2} - 250 + 0 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.2.2

Some $0.2 x^{2} - 250$ e $0$ .

$\frac{0.2 x^{2} - 250 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3.3

Subtraia $0.1 x^{2}$ de $0.2 x^{2}$ .

$\frac{0.1 x^{2} - 250}{x^{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{2} - 250$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{2}$ .

$\frac{0.1 (x^{2}) - 250}{x^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.2

Fatore $0.1$ de $- 250$ .

$\frac{0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500}{x^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.3

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500$ .

$\frac{0.1 (x^{2} - 2500)}{x^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva $2500$ como $50^{2}$ .

$\frac{0.1 (x^{2} - 50^{2})}{x^{2}}$

Etapa 2.3.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 50$ .

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $0.1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $0.1 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 50) (x - 50)}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 0.1 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 50) (x - 50)}{x^{2}})$

Etapa 3.2

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 50) (x - 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 50) (x - 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 50) (x - 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 50$ e $g (x) = x - 50$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) \frac{d}{d x} (x - 50) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 50$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 50]$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 50)) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) (1 + \frac{d}{d x} (- 50)) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.3

Como $- 50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 50$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) (1 + 0) + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} ((x + 50) \cdot 1 + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $x + 50$ por $1$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) \frac{d}{d x} (x + 50)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 50$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [50]$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (50))) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) (1 + \frac{d}{d x} (50))) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.7

Como $50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $50$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) (1 + 0)) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + (x - 50) \cdot 1) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.8.2

Multiplique $x - 50$ por $1$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (x + 50 + x - 50) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (2 x + 50 - 50) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.4.1

Subtraia $50$ de $50$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{2} (2 x) - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.6.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 50) (x - 50) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{2 x^{3} - (x + 50) (x - 50) (2 x)}{x^{4}})$

Etapa 3.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0.1 (\frac{2 x^{3} - 2 (x + 50) (x - 50) x}{x^{4}})$

Etapa 3.9.2

Combine $0.1$ e $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 50) (x - 50) x}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.1 (2 x^{3} - 2 (x + 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{0.1 (2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{0.1 (2 x^{3}) + 0.1 ((- 2 x - 2 \cdot 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.1

Multiplique $2$ por $0.1$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x - 2 \cdot 50) (x - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $50$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x - 100) (x - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.3

Expanda $(- 2 x - 100) (x - 50)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x (x - 50) - 100 (x - 50)) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 50 - 100 (x - 50)) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 50 - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.4.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 50 - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 50 - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.4.1.2

Multiplique $- 50$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 100 x - 100 x - 100 \cdot - 50) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.4.1.3

Multiplique $- 100$ por $- 50$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 100 x - 100 x + 5000) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.4.2

Subtraia $100 x$ de $100 x$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 0 + 5000) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.4.3

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 ((- 2 x^{2} + 5000) x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{2} x + 5000 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.6.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 (x \cdot x^{2}) + 5000 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 (x \cdot x^{2}) + 5000 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{1 + 2} + 5000 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{3} + 5000 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} + 0.1 (- 2 x^{3}) + 0.1 (5000 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.8

Multiplique $- 2$ por $0.1$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} - 0.2 x^{3} + 0.1 (5000 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.1.9

Multiplique $5000$ por $0.1$ .

$f'' (x) = \frac{0.2 x^{3} - 0.2 x^{3} + 500 x}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.2

Subtraia $0.2 x^{3}$ de $0.2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 x^{3} + 500 x}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.3

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 500 x}{x^{4}}$

Etapa 3.10.3.4

Some $0$ e $500 x$ .

$f'' (x) = \frac{500 x}{x^{4}}$

Etapa 3.10.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.4.1

Fatore $x$ de $500 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 500}{x^{4}}$

Etapa 3.10.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 500}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.10.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 500}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.10.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{500}{x^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [250 + 33 x + 0.1 x^{2}] - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $250 + 33 x + 0.1 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [250] + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Como $250$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $250$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [33 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Como $33$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $33 x$ em relação a $x$ é $33 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Multiplique $33$ por $1$ .

$\frac{x (33 + \frac{d}{d x} [0.1 x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Como $0.1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.1 x^{2}$ em relação a $x$ é $0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (33 + 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (33 + 0.1 (2 x)) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.9

Multiplique $2$ por $0.1$ .

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (33 + 0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - (250 + 33 x + 0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.1

Mova $33$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x (0.2 x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{33 x + 0.2 x \cdot x - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{33 x + 0.2 (x \cdot x) - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 1 \cdot 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $250$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - (33 x) - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.5

Multiplique $33$ por $- 1$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - (0.1 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.1.6

Multiplique $0.1$ por $- 1$ .

$\frac{33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $33 x + 0.2 x^{2} - 250 - 33 x - 0.1 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.3.2.1

Subtraia $33 x$ de $33 x$ .

$\frac{0.2 x^{2} - 250 + 0 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.2.2

Some $0.2 x^{2} - 250$ e $0$ .

$\frac{0.2 x^{2} - 250 - 0.1 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.3.3

Subtraia $0.1 x^{2}$ de $0.2 x^{2}$ .

$\frac{0.1 x^{2} - 250}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.4.1

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{2} - 250$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.4.1.1

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{2}$ .

$\frac{0.1 (x^{2}) - 250}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.1.2

Fatore $0.1$ de $- 250$ .

$\frac{0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.1.3

Fatore $0.1$ de $0.1 x^{2} + 0.1 \cdot - 2500$ .

$\frac{0.1 (x^{2} - 2500)}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.2

Reescreva $2500$ como $50^{2}$ .

$\frac{0.1 (x^{2} - 50^{2})}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 50$ .

$f' (x) = \frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$ .

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$0.1 (x + 50) (x - 50) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 50 = 0$

$x - 50 = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $x + 50$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Defina $x + 50$ como igual a $0$ .

$x + 50 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $50$ dos dois lados da equação.

$x = - 50$

Etapa 6.3.3

Defina $x - 50$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $x - 50$ como igual a $0$ .

$x - 50 = 0$

Etapa 6.3.3.2

Some $50$ aos dois lados da equação.

$x = 50$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $0.1 (x + 50) (x - 50) = 0$ verdadeiro.

$x = - 50, 50$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{0.1 (x + 50) (x - 50)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 7.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 50, 50$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 50$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{500}{{(- 50)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Eleve $- 50$ à potência de $3$ .

$\frac{500}{- 125000}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $500$ e $- 125000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Fatore $500$ de $500$ .

$\frac{500 (1)}{- 125000}$

Etapa 10.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Fatore $500$ de $- 125000$ .

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot - 250}$

Etapa 10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot - 250}$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 250}$

Etapa 10.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{250}$

Etapa 11

$x = - 50$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 50$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 50$ na expressão.

$f (- 50) = \frac{250 + 33 (- 50) + 0.1 {(- 50)}^{2}}{- 50}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $33$ por $- 50$ .

$f (- 50) = \frac{250 - 1650 + 0.1 {(- 50)}^{2}}{- 50}$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $- 50$ à potência de $2$ .

$f (- 50) = \frac{250 - 1650 + 0.1 \cdot 2500}{- 50}$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $0.1$ por $2500$ .

$f (- 50) = \frac{250 - 1650 + 250}{- 50}$

Etapa 12.2.1.4

Subtraia $1650$ de $250$ .

$f (- 50) = \frac{- 1400 + 250}{- 50}$

Etapa 12.2.1.5

Some $- 1400$ e $250$ .

$f (- 50) = \frac{- 1150}{- 50}$

Etapa 12.2.2

Divida $- 1150$ por $- 50$ .

$f (- 50) = 23$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $23$ .

$y = 23$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 50$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{500}{{(50)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Eleve $50$ à potência de $3$ .

$\frac{500}{125000}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $500$ e $125000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Fatore $500$ de $500$ .

$\frac{500 (1)}{125000}$

Etapa 14.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Fatore $500$ de $125000$ .

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Etapa 14.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

Etapa 14.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{250}$

Etapa 15

$x = 50$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 50$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $50$ na expressão.

$f (50) = \frac{250 + 33 (50) + 0.1 {(50)}^{2}}{50}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum de $250 + 33 (50) + 0.1 {(50)}^{2}$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Reordene os termos.

$f (50) = \frac{0.1 {(50)}^{2} + 33 \cdot 50 + 250}{50}$

Etapa 16.2.1.2

Fatore $5$ de $0.1 {(50)}^{2}$ .

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2}) + 33 \cdot 50 + 250}{50}$

Etapa 16.2.1.3

Fatore $5$ de $33 \cdot 50$ .

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2}) + 5 (33 \cdot 10) + 250}{50}$

Etapa 16.2.1.4

Fatore $5$ de $5 (0.02 {(50)}^{2}) + 5 (33 \cdot 10)$ .

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10) + 250}{50}$

Etapa 16.2.1.5

Fatore $5$ de $250$ .

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10) + 5 (50)}{50}$

Etapa 16.2.1.6

Fatore $5$ de $5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10) + 5 (50)$ .

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50)}{50}$

Etapa 16.2.1.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.7.1

Fatore $5$ de $50$ .

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50)}{5 (10)}$

Etapa 16.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$f (50) = \frac{5 (0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50)}{5 \cdot 10}$

Etapa 16.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$f (50) = \frac{0.02 {(50)}^{2} + 33 \cdot 10 + 50}{10}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Eleve $50$ à potência de $2$ .

$f (50) = \frac{0.02 \cdot 2500 + 33 \cdot 10 + 50}{10}$

Etapa 16.2.2.2

Multiplique $0.02$ por $2500$ .

$f (50) = \frac{50 + 33 \cdot 10 + 50}{10}$

Etapa 16.2.2.3

Multiplique $33$ por $10$ .

$f (50) = \frac{50 + 330 + 50}{10}$

Etapa 16.2.2.4

Some $50$ e $330$ .

$f (50) = \frac{380 + 50}{10}$

Etapa 16.2.2.5

Some $380$ e $50$ .

$f (50) = \frac{430}{10}$

Etapa 16.2.3

Divida $430$ por $10$ .

$f (50) = 43$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $43$ .

$y = 43$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{250 + 33 x + 0.1 x^{2}}{x}$ .

$(- 50, 23)$ é um máximo local

$(50, 43)$ é um mínimo local

Etapa 18