Cálculo Exemplos

$y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + 0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$11 \frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $1 + 0.25 x^{2}$ por $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 0.25 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Como $0.25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.25 x^{2}$ em relação a $x$ é $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $0.25$ por $- 1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $2$ por $- 0.25$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$11 \frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Subtraia $0.5 x^{2}$ de $0.25 x^{2}$ .

$11 \frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Combine $11$ e $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.2.1

Multiplique $11$ por $1$ .

$\frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $- 0.25$ por $11$ .

$\frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10.3

Reordene os termos.

$\frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.4.1

Fatore $2.75$ de $- 2.75 x^{2} + 11$ .

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Etapa 2.10.4.1.1

Fatore $2.75$ de $- 2.75 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.4.1.2

Fatore $2.75$ de $11$ .

$\frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.4.1.3

Fatore $2.75$ de $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.4.3

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$\frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.10.5.1

Fatore $0.25$ de $0.25 x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.10.5.1.1

Fatore $0.25$ de $0.25 x^{2}$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.5.1.2

Fatore $0.25$ de $1$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Etapa 2.10.5.1.3

Fatore $0.25$ de $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Etapa 2.10.5.2

Aplique a regra do produto a $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.10.5.3

Eleve $0.25$ à potência de $2$ .

$\frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.10.6

Fatore $2.75$ de $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.10.7

Fatore $0.0625$ de $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Etapa 2.10.8

Separe as frações.

$\frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.10.9

Divida $2.75$ por $0.0625$ .

$44 \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.10.10

Combine $44$ e $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $44$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $44 \frac{d}{d x} [\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 44 \frac{d}{d x} (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 3.2

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ((2 + x) (2 - x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 + x$ e $g (x) = 2 - x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (2 - x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) (- 1 \cdot 1) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} ((2 + x) \cdot - 1 + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $2 + x$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 1 \cdot (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.6.3

Reescreva $- 1 (2 + x)$ como $- (2 + x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (2 + x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + (2 - x) \cdot 1) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.5.11

Multiplique $2 - x$ por $1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - (2 + x) (2 - x) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.7.2

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{2} (- (2 + x) + 2 - x)$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) - 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.7.2.2

Fatore $x^{2} + 4$ de $- 2 (2 + x) (2 - x) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.7.2.3

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x)) + (x^{2} + 4) (- 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Etapa 3.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.8.1

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.11

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.12

Combine frações.

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Etapa 3.12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 2 (2 + x) (2 - x) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.12.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 44 (\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Etapa 3.12.3

Combine $44$ e $\frac{(x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- (2 + x) + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) - 4 (2 + x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x) + (- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 1 \cdot 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 - x + 2 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.2

Combine os termos opostos em $- 2 - x + 2 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x + 0 - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.2.2

Some $- x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- x - x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.3

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{44 ((x^{2} + 4) (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 (x^{2} (- 2 x) + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x + 4 (- 2 x)) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.6

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{2} x - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.7.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 (x \cdot x^{2}) - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{1 + 2} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.7.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3} - 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{44 (- 2 x^{3}) + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.9

Multiplique $- 2$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} + 44 (- 8 x) + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.10

Multiplique $- 8$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 4 \cdot 2 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.11

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 - 4 x) (2 - x) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.12

Expanda $(- 8 - 4 x) (2 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 (2 - x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x (2 - x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 8 \cdot 2 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.13.1.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 - 8 (- x) - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 4 x \cdot 2 - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.1.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 x (- x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.13.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 8 x - 8 x + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.2

Subtraia $8 x$ de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 0 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.13.3

Some $- 16$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 ((- 16 + 4 x^{2}) x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{2} x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.15

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.15.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.15.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.4.1.15.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.15.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{1 + 2})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.15.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x + 4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.16

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x + 44 (- 16 x) + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.17

Multiplique $- 16$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 44 (4 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.1.18

Multiplique $4$ por $44$ .

$f'' (x) = \frac{- 88 x^{3} - 352 x - 704 x + 176 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.2

Some $- 88 x^{3}$ e $176 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 352 x - 704 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.4.3

Subtraia $704 x$ de $- 352 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x^{3} - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.5

Fatore $88 x$ de $88 x^{3} - 1056 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.5.1

Fatore $88 x$ de $88 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) - 1056 x}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.5.2

Fatore $88 x$ de $- 1056 x$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 3.13.5.3

Fatore $88 x$ de $88 x (x^{2}) + 88 x (- 12)$ .

$f'' (x) = \frac{88 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}}]$ .

$f' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + 0.25 x^{2}})$

Etapa 5.1.2

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{(1 + 0.25 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $1 + 0.25 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 + 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 0.25 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (0.25 x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [0.25 x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x \frac{d}{d x} (0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.6

Como $0.25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.25 x^{2}$ em relação a $x$ é $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - x (0.25 \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.7

Multiplique $0.25$ por $- 1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.25 x (2 x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.3.9

Multiplique $2$ por $- 0.25$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x \cdot x}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 (x \cdot x)}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{1 + 1}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 + 0.25 x^{2} - 0.5 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.8

Subtraia $0.5 x^{2}$ de $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = 11 (\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}})$

Etapa 5.1.9

Combine $11$ e $\frac{1 - 0.25 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{11 (1 - 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{11 \cdot 1 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.2.1

Multiplique $11$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{11 + 11 (- 0.25 x^{2})}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.10.2.2

Multiplique $- 0.25$ por $11$ .

$f' (x) = \frac{11 - 2.75 x^{2}}{{(1 + 0.25 x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.1.10.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 2.75 x^{2} + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.4.1

Fatore $2.75$ de $- 2.75 x^{2} + 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.4.1.1

Fatore $2.75$ de $- 2.75 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 11}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.4.1.2

Fatore $2.75$ de $11$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.4.1.3

Fatore $2.75$ de $2.75 (- x^{2}) + 2.75 (4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 4)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (- x^{2} + 2^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.4.3

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2^{2} - x^{2})}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.5.1

Fatore $0.25$ de $0.25 x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.5.1.1

Fatore $0.25$ de $0.25 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.5.1.2

Fatore $0.25$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.5.1.3

Fatore $0.25$ de $0.25 x^{2} + 0.25 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{(0.25 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Etapa 5.1.10.5.2

Aplique a regra do produto a $0.25 (x^{2} + 4)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{{0.25}^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.5.3

Eleve $0.25$ à potência de $2$ .

$f' (x) = \frac{2.75 (2 + x) (2 - x)}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.6

Fatore $2.75$ de $2.75 (2 + x) (2 - x)$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.7

Fatore $0.0625$ de $0.0625 {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2.75 ((2 + x) (2 - x))}{0.0625 ({(x^{2} + 4)}^{2})}$

Etapa 5.1.10.8

Separe as frações.

$f' (x) = \frac{2.75}{0.0625} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.1.10.9

Divida $2.75$ por $0.0625$ .

$f' (x) = 44 (\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 5.1.10.10

Combine $44$ e $\frac{(2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{44 (2 + x) (2 - x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$44 (2 + x) (2 - x) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $2 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Defina $2 + x$ como igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.3.3

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 6.3.3.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 6.3.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $44 (2 + x) (2 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2, 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{88 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $88$ por $- 2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Some $4$ e $4$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{- 176 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{- 176 (4 - 12)}{512}$

Etapa 10.3.2

Subtraia $12$ de $4$ .

$\frac{- 176 \cdot - 8}{512}$

Etapa 10.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Multiplique $- 176$ por $- 8$ .

$\frac{1408}{512}$

Etapa 10.4.2

Cancele o fator comum de $1408$ e $512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Fatore $128$ de $1408$ .

$\frac{128 (11)}{512}$

Etapa 10.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Fatore $128$ de $512$ .

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

Etapa 10.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{128 \cdot 11}{128 \cdot 4}$

Etapa 10.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{11}{4}$

Etapa 11

$x = - 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{11 (- 2)}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $11$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 12.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $0.25$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{1 + 1}$

Etapa 12.2.2.3

Some $1$ e $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 22}{2}$

Etapa 12.2.3

Divida $- 22$ por $2$ .

$f (- 2) = - 11$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $- 11$ .

$y = - 11$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{88 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $88$ por $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Some $4$ e $4$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Etapa 14.2.3

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{176 (2^{2} - 12)}{512}$

Etapa 14.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{176 (4 - 12)}{512}$

Etapa 14.3.2

Subtraia $12$ de $4$ .

$\frac{176 \cdot - 8}{512}$

Etapa 14.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Multiplique $176$ por $- 8$ .

$\frac{- 1408}{512}$

Etapa 14.4.2

Cancele o fator comum de $- 1408$ e $512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Fatore $128$ de $- 1408$ .

$\frac{128 (- 11)}{512}$

Etapa 14.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Fatore $128$ de $512$ .

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

Etapa 14.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{128 \cdot - 11}{128 \cdot 4}$

Etapa 14.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 11}{4}$

Etapa 14.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11}{4}$

Etapa 15

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{11 (2)}{1 + 0.25 {(2)}^{2}}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Multiplique $11$ por $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 2^{2}}$

Etapa 16.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 0.25 \cdot 4}$

Etapa 16.2.2.2

Multiplique $0.25$ por $4$ .

$f (2) = \frac{22}{1 + 1}$

Etapa 16.2.2.3

Some $1$ e $1$ .

$f (2) = \frac{22}{2}$

Etapa 16.2.3

Divida $22$ por $2$ .

$f (2) = 11$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $11$ .

$y = 11$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{11 x}{1 + 0.25 x^{2}}$ .

$(- 2, - 11)$ é um mínimo local

$(2, 11)$ é um máximo local

Etapa 18