Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{3} x^{3} - x$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - 1$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 0$

Etapa 3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 5.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 5.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 5.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 5.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 1$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 1 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 6.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (1)$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 11

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - (1)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - (1)$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - (1)$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1$

Etapa 12.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 12.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 12.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (1) = \frac{1 - 3}{3}$

Etapa 12.2.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 2}{3}$

Etapa 12.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (1) = - \frac{2}{3}$

Etapa 12.2.7

A resposta final é $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (- 1)$

Etapa 14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2$

Etapa 15

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - (- 1)$

Etapa 16.2.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} - (- 1)$

Etapa 16.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - (- 1)$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1$

Etapa 16.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 16.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 16.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3}{3}$

Etapa 16.2.2.3

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3}$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$ .

$(1, - \frac{2}{3})$ é um mínimo local

$(- 1, \frac{2}{3})$ é um máximo local

Etapa 18