Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{6}{7}}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{\frac{6}{7}}$ como uma função.

$f (x) = x^{\frac{6}{7}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1}$

Etapa 2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Etapa 2.3

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}}$

Etapa 2.5.2

Subtraia $7$ de $6$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}}$

Etapa 2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{6}{7}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $\frac{6}{7}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ em relação a $x$ é $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ como ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{7} \cdot - 1})$

Etapa 3.2.2.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{7}})$

Etapa 3.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{7}})$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} x^{- \frac{1}{7} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} x^{- \frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} x^{- \frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} x^{\frac{- 1 - 7}{7}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $7$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} x^{\frac{- 8}{7}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} x^{- \frac{8}{7}})$

Etapa 3.9

Combine $x^{- \frac{8}{7}}$ e $\frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{7}}}{7})$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{6}{7}$ por $\frac{x^{- \frac{8}{7}}}{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x^{- \frac{8}{7}}}{7 \cdot 7}$

Etapa 3.11

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x^{- \frac{8}{7}}}{49}$

Etapa 3.11.2

Mova $x^{- \frac{8}{7}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 x^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{6}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1}$

Etapa 5.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Etapa 5.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Etapa 5.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}}$

Etapa 5.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}}$

Etapa 5.1.5.2

Subtraia $7$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}}$

Etapa 5.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}}$

Etapa 5.1.7

Simplifique.

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Etapa 5.1.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.1.7.2

Multiplique $\frac{6}{7}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 = 0$

Etapa 6.3

Como $6 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{6}{7 \sqrt[7]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$7 \sqrt[7]{x} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

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Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $7$ ª potência.

${(7 \sqrt[7]{x})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(7 x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $7 x^{\frac{1}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$823543 {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$823543 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$823543 x^{1} = 0^{7}$

Etapa 7.3.2.2.1.4

Simplifique.

$823543 x = 0^{7}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$823543 x = 0$

Etapa 7.3.3

Divida cada termo em $823543 x = 0$ por $823543$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Divida cada termo em $823543 x = 0$ por $823543$ .

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{0}{823543}$

Etapa 7.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $823543$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{0}{823543}$

Etapa 7.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{823543}$

Etapa 7.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.1

Divida $0$ por $823543$ .

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{6}{49 {(0)}^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Reescreva $0$ como $0^{7}$ .

$- \frac{6}{49 {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 10.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{49 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{6}{49 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Etapa 10.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{6}{49 \cdot 0^{8}}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{6}{49 \cdot 0}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $49$ por $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Etapa 10.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{6}{0}$

Etapa 10.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{6}{7 {(- 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $\frac{6}{7 {(- 2)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 {(- 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{6}{7 {(2)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Remova os parênteses.

$f' (2) = \frac{6}{7 \cdot 2^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 11.3.2.2

A resposta final é $\frac{6}{7 \cdot 2^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 \cdot 2^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 11.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12