Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + 2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + 2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

Etapa 2.16

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

Etapa 2.17

Simplifique.

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Etapa 2.17.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.17.2

Multiplique $2 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.17.3

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.17.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.17.5

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.17.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.17.6.1

Fatore $2$ de $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.17.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.17.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - x$ e $g (x) = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.4.6.3

Reescreva $- 1 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.10

Combine frações.

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Etapa 3.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.10.3

Mova ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.13

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.16

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.17

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x)))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.19

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20

Simplifique.

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Etapa 3.20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 + x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.20.2.1

Deixe $u_{2} = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{u_{2}}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{u_{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- \frac{(3 + 2 x - x^{2}) + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.2

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{- \frac{3 + 2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.3

Some $3$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.4

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{- x^{2} + x^{2} + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.5

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.2.3.7

Some $0$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.3.1

Reescreva $\frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$ como um produto.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$

Etapa 3.20.3.2

Multiplique $\frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$ por $\frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.20.3.3

Multiplique $3 + 2 x - x^{2}$ por ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.3.3.1

Multiplique $3 + 2 x - x^{2}$ por ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.20.3.3.1.1

Eleve $3 + 2 x - x^{2}$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.20.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.20.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.20.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 3.20.3.3.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.7.3

Mova ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Etapa 5.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 5.1.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 5.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 5.1.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 5.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 5.1.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Etapa 5.1.14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 5.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x))$

Etapa 5.1.16

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x)$

Etapa 5.1.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.17.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 5.1.17.2

Multiplique $2 - 2 x$ por $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.17.3

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.17.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.17.5

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.17.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.17.6.1

Fatore $2$ de $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 5.1.17.6.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.17.6.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 - x = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1 - x}{\sqrt{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{3 + 2 x - x^{2}} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 + 2 x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Simplifique.

$3 + 2 x - x^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

Etapa 7.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.1

Fatore $- 1$ de $3 + 2 x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.1.1.1

Mova $3$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Etapa 7.3.3.1.1.1.2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Etapa 7.3.3.1.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Etapa 7.3.3.1.1.3

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Etapa 7.3.3.1.1.4

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.3.3.1.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.3.3.1.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Etapa 7.3.3.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 7.3.3.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 7.3.3.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 7.3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 7.3.3.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.3.3.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7.3.3.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.3.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.3.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 7.4

Defina o radicando em $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 + 2 x - x^{2} < 0$

Etapa 7.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

Etapa 7.5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Fatore $- 1$ de $3 + 2 x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.1.1

Mova $3$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Etapa 7.5.2.1.1.2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Etapa 7.5.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Etapa 7.5.2.1.3

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Etapa 7.5.2.1.4

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.5.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 7.5.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Etapa 7.5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 7.5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 7.5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 7.5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 7.5.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.5.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7.5.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 7.5.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7.5.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 7.5.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 7.5.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 7.5.8.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$3 + 2 (- 4) - {(- 4)}^{2} < 0$

Etapa 7.5.8.1.3

O lado esquerdo $- 21$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.5.8.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.5.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$3 + 2 (0) - {(0)}^{2} < 0$

Etapa 7.5.8.2.3

O lado esquerdo $3$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.5.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.5.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 7.5.8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$3 + 2 (6) - {(6)}^{2} < 0$

Etapa 7.5.8.3.3

O lado esquerdo $- 21$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.5.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 7.5.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $x > 3$

Etapa 7.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 1, 3$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4}{{(3 + 2 (1) - {(1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.2

Some $3$ e $2$ .

$- \frac{4}{{(5 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.3

Subtraia $1$ de $5$ .

$- \frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.1.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 10.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.1.6.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 10.1.6.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4}{2^{3}}$

Etapa 10.1.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{4}{8}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{8}$

Etapa 10.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 10.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 10.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 11

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \sqrt{3 + 2 (1) - {(1)}^{2}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - {(1)}^{2}}$

Etapa 12.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

Etapa 12.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1}$

Etapa 12.2.4

Some $3$ e $2$ .

$f (1) = \sqrt{5 - 1}$

Etapa 12.2.5

Subtraia $1$ de $5$ .

$f (1) = \sqrt{4}$

Etapa 12.2.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 12.2.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = 2$

Etapa 12.2.8

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4}{{(3 + 2 (- 1) - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.1.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 14.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1 + 2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 14.2.1

Subtraia $2$ de $3$ .

$- \frac{4}{{(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$- \frac{4}{0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.2.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{4}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.2.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4}{0^{3}}$

Etapa 14.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{4}{0}$

Etapa 14.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{4}{0}$

Etapa 14.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 15

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 16