Cálculo Exemplos

$y = 3 \arccos (x^{6})$

Etapa 1

Escreva $y = 3 \arccos (x^{6})$ como uma função.

$f (x) = 3 \arccos (x^{6})$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \arccos (x^{6})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{6}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\arccos (u)$ em relação a $u$ é $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{6}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{6 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 2.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} (6 x^{5})$

Etapa 2.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Etapa 2.3.4.2

Combine $- 6$ e $\frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Etapa 2.3.4.4

Combine $\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Etapa 2.3.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{12}}$ como ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.1.2

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.5.2

Mova $5$ para a esquerda de ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 \cdot ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{{(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.11.3

Mova ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.11.4

Combine $\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12})}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{12}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.14

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{12})}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{12}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{12})}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.16

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + 1 (\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.16.2

Multiplique $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (12 x^{11})}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.18

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.1

Combine $12$ e $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{11}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.18.2

Combine $\frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5} x^{11}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.19

Multiplique $x^{5}$ por $x^{11}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.19.1

Mova $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 (x^{11} x^{5})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{11 + 5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.19.3

Some $11$ e $5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{16}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.20

Fatore $2$ de $12 x^{16}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.21

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.21.1

Fatore $2$ de $2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.21.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.21.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{6 x^{16}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.22

Reordene $1$ e $- x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.23

Para escrever $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.25

Multiplique ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.25.1

Mova ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} ({(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.25.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.25.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.25.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{2}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.25.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.26

Simplifique $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Etapa 3.27

Reescreva $\frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$ como um produto.

$f'' (x) = - 18 (\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{12}})$

Etapa 3.28

Multiplique $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 - x^{12}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{12})}$

Etapa 3.29

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Etapa 3.30

Multiplique ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{12} + 1$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.30.1

Multiplique ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{12} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.30.1.1

Eleve $- x^{12} + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Etapa 3.30.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 3.30.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 3.30.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 3.30.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.31

Combine $- 18$ e $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.32

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.33.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12}) + 5 x^{4} \cdot 1 + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12})) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.33.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.33.3.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{12}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.33.3.1.1.1

Mova $x^{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 (x^{12} x^{4}) \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{12 + 4} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.1.1.3

Some $12$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{16} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (- 5 x^{16}) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4}) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.1.5

Multiplique $5$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.1.6

Multiplique $6$ por $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 108 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.3.2

Some $- 90 x^{16}$ e $108 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{16} + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.4

Fatore $18 x^{4}$ de $18 x^{16} + 90 x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.33.4.1

Fatore $18 x^{4}$ de $18 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.4.2

Fatore $18 x^{4}$ de $90 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.33.4.3

Fatore $18 x^{4}$ de $18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12} + 5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}} = 0$

Etapa 5

Defina o numerador como igual a zero.

$18 x^{5} = 0$

Etapa 6

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $18 x^{5} = 0$ por $18$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Divida cada termo em $18 x^{5} = 0$ por $18$ .

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum de $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Etapa 6.1.2.1.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{18}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Divida $0$ por $18$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 6.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 6.3

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 6.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{18 {(0)}^{4} ({(0)}^{12} + 5)}{{(- {(0)}^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} (0 + 5)}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.1.2

Some $0$ e $5$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} \cdot 5}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $5$ por $18$ .

$- \frac{90 \cdot 0^{4}}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Some $0$ e $1$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{1^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{90 \cdot 0}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique $90$ por $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Etapa 8.3.2

Divida $0$ por $1$ .

$- 0$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 9

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 9.2

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = - \frac{18 {(- 0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $5$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $12$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Etapa 9.2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0.00024414$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Etapa 9.2.2.2.3

Subtraia $0.00024414$ de $1$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.3.1

Multiplique $18$ por $- 0.03125$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{- 0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.2.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.2.2.4

Multiplique $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.2.2.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.5.1

Multiplique $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.2.2.5.2

Eleve $\sqrt{0.99975585}$ à potência de $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.2.2.5.3

Eleve $\sqrt{0.99975585}$ à potência de $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.2.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.2.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Etapa 9.2.2.5.6

Reescreva ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ como $0.99975585$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{0.99975585}$ como ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.2.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.2.2.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.2.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.2.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Etapa 9.2.2.5.6.5

Avalie o expoente.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Etapa 9.2.2.6

Multiplique $0.5625$ por $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Etapa 9.2.2.7

Divida $0.56243133$ por $0.99975585$ .

$f' (- 0.5) = - (- 1 \cdot 0.56256867)$

Etapa 9.2.2.8

Multiplique $- (- 1 \cdot 0.56256867)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Etapa 9.2.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Etapa 9.2.2.9

A resposta final é $0.56256867$ .

$0.56256867$

Etapa 9.3

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f' (0.5) = - \frac{18 {(0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(0.5)}^{12}}}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Eleve $0.5$ à potência de $5$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - {0.5}^{12}}}$

Etapa 9.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Eleve $0.5$ à potência de $12$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Etapa 9.3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0.00024414$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Etapa 9.3.2.2.3

Subtraia $0.00024414$ de $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.3.2.3

Multiplique $18$ por $0.03125$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.3.2.4

Multiplique $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - (\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}})$

Etapa 9.3.2.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.5.1

Multiplique $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ por $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.3.2.5.2

Eleve $\sqrt{0.99975585}$ à potência de $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.3.2.5.3

Eleve $\sqrt{0.99975585}$ à potência de $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Etapa 9.3.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Etapa 9.3.2.5.6

Reescreva ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ como $0.99975585$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{0.99975585}$ como ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.2.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.2.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.2.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.2.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Etapa 9.3.2.5.6.5

Avalie o expoente.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Etapa 9.3.2.6

Multiplique $0.5625$ por $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Etapa 9.3.2.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.7.1

Divida $0.56243133$ por $0.99975585$ .

$f' (0.5) = - 1 \cdot 0.56256867$

Etapa 9.3.2.7.2

Multiplique $- 1$ por $0.56256867$ .

$f' (0.5) = - 0.56256867$

Etapa 9.3.2.8

A resposta final é $- 0.56256867$ .

$- 0.56256867$

Etapa 9.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 10