Cálculo Exemplos

$y = - 2 x + \sin (4 x)$

Etapa 1

Escreva $y = - 2 x + \sin (4 x)$ como uma função.

$f (x) = - 2 x + \sin (4 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + \sin (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$- 2 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 2 + \cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$- 2 + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 2 + \cos (4 x) \cdot 4$

Etapa 2.3.5

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$- 2 + 4 \cos (4 x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 + 4 \cos (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2) + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Etapa 3.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 \cos (4 x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (4 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (\cos (4 x))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (4 x))$

Etapa 3.2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (4 x))$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Etapa 3.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Etapa 3.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- 4 \sin (4 x))$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = 0 - 16 \sin (4 x)$

Etapa 3.3

Subtraia $16 \sin (4 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 + 4 \cos (4 x) = 0$

Etapa 5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$4 \cos (4 x) = 2$

Etapa 6

Divida cada termo em $4 \cos (4 x) = 2$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $4 \cos (4 x) = 2$ por $4$ .

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos (4 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\cos (4 x)$ por $1$ .

$\cos (4 x) = \frac{2}{4}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\cos (4 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 6.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (4 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (4 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$4 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{3}$

Etapa 9

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{3}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{4}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 4}$

Etapa 9.3.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$x = \frac{π}{12}$

Etapa 10

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$4 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 11

Resolva $x$ .

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Etapa 11.1

Simplifique.

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Etapa 11.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 11.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 11.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 11.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 11.1.5

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$4 x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.2

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 π}{3}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Etapa 11.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{4}$

Etapa 11.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 4}$

Etapa 11.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 12

A solução para a equação $4 x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{12}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 16 \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- 16 \sin (4 \frac{π}{4 (3)})$

Etapa 14.1.2

Cancele o fator comum.

$- 16 \sin (4 \frac{π}{4 \cdot 3})$

Etapa 14.1.3

Reescreva a expressão.

$- 16 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 14.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$2 (- 8) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 14.3.3

Reescreva a expressão.

$- 8 \sqrt{3}$

Etapa 15

$x = \frac{π}{12}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{12}$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{π}{12}) = - 2 \frac{π}{12} + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{π}{12}) + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Etapa 16.2.1.1.2

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Etapa 16.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Etapa 16.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{12}) = - 1 \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Etapa 16.2.1.2

Reescreva $- 1 \frac{π}{6}$ como $- \frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{12}))$

Etapa 16.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.3.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{4 (3)}))$

Etapa 16.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (4 (\frac{π}{4 \cdot 3}))$

Etapa 16.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 16.2.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 16.2.2

A resposta final é $- \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{12}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 16 \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- 16 \sin (4 \frac{5 π}{4 (3)})$

Etapa 18.1.2

Cancele o fator comum.

$- 16 \sin (4 \frac{5 π}{4 \cdot 3})$

Etapa 18.1.3

Reescreva a expressão.

$- 16 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 18.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 16 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 18.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 16 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 18.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 16 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.4.2

Fatore $2$ de $- 16$ .

$2 (- 8) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 8 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18.4.4

Reescreva a expressão.

$- 8 (- \sqrt{3})$

Etapa 18.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 \sqrt{3}$

Etapa 19

$x = \frac{5 π}{12}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{12}$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{12}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 2 \frac{5 π}{12} + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{5 π}{12}) + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 20.2.1.1.2

Fatore $2$ de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 20.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 20.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = - 1 \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 20.2.1.2

Reescreva $- 1 \frac{5 π}{6}$ como $- \frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{12}))$

Etapa 20.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.3.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{4 (3)}))$

Etapa 20.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (4 (\frac{5 π}{4 \cdot 3}))$

Etapa 20.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 20.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 20.2.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 20.2.2

A resposta final é $- \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 2 x + \sin (4 x)$ .

$(\frac{π}{12}, - \frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{12}, - \frac{5 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ é um mínimo local

Etapa 22