Cálculo Exemplos

$y = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Etapa 1

Escreva $y = 2 x {(x - 2)}^{3}$ como uma função.

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(x - 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 2.4.6

Multiplique ${(x - 2)}^{3}$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 2.5.3

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 2.5.3.2

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Etapa 2.5.3.3

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Etapa 2.5.4

Some $3 x$ e $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Etapa 2.5.5

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.6

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.7.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.7.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.7.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.9.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.9.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Etapa 2.5.10

Expanda $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.11.2.1

Mova $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.11.6.1

Mova $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.7

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.8

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.9

Multiplique $4$ por $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Etapa 2.5.11.10

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Etapa 2.5.12

Subtraia $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Etapa 2.5.13

Some $16 x$ e $32 x$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $48$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $24 x^{2} - 72 x + 48$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(x - 2)}^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 5.1.4.6

Multiplique ${(x - 2)}^{3}$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Etapa 5.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 5.1.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 5.1.5.3

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.3.1

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Etapa 5.1.5.3.2

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Etapa 5.1.5.3.3

Fatore $2 {(x - 2)}^{2}$ de $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Etapa 5.1.5.4

Some $3 x$ e $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.5

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.6

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.7.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.7.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.7.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.9.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.9.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Etapa 5.1.5.10

Expanda $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.11.2.1

Mova $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.11.6.1

Mova $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.7

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.8

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.9

Multiplique $4$ por $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Etapa 5.1.5.11.10

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Etapa 5.1.5.12

Subtraia $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Etapa 5.1.5.13

Some $16 x$ e $32 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $4$ de $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore $4$ de $8 x^{3}$ .

$4 (2 x^{3}) - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 48 x - 16 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $4$ de $48 x$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) - 16 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $4$ de $- 16$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Etapa 6.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4) = 0$

Etapa 6.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 6.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Etapa 6.2.2.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 6.2.2.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 6.2.2.3.3

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 6.2.2.3.4

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 6.2.2.3.5

Multiplique $- 9$ por $0.25$ .

$0.25 - 2.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 6.2.2.3.6

Subtraia $2.25$ de $0.25$ .

$- 2 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Etapa 6.2.2.3.7

Multiplique $12$ por $0.5$ .

$- 2 + 6 - 4$

Etapa 6.2.2.3.8

Some $- 2$ e $6$ .

$4 - 4$

Etapa 6.2.2.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 6.2.2.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4}{2 x - 1}$

Etapa 6.2.2.5

Divida $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ por $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$12 x$

$4$

Etapa 6.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$

Etapa 6.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 6.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 6.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 6.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} + 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 6.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

Etapa 6.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Etapa 6.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Etapa 6.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Etapa 6.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x - 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Etapa 6.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Etapa 6.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 6.2.2.6

Escreva $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.2.3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 6.2.3.1.3

Reescreva o polinômio.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.2.3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((2 x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Etapa 6.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.5

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.5.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 {(\frac{1}{2})}^{2} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Etapa 10.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$24 \frac{1}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Etapa 10.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$24 (\frac{1}{4}) - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Etapa 10.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Etapa 10.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Etapa 10.1.4.3

Reescreva a expressão.

$6 - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Etapa 10.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.5.1

Fatore $2$ de $- 72$ .

$6 + 2 (- 36) \frac{1}{2} + 48$

Etapa 10.1.5.2

Cancele o fator comum.

$6 + 2 \cdot - 36 \frac{1}{2} + 48$

Etapa 10.1.5.3

Reescreva a expressão.

$6 - 36 + 48$

Etapa 10.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $36$ de $6$ .

$- 30 + 48$

Etapa 10.2.2

Some $- 30$ e $48$ .

$18$

Etapa 11

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) \cdot {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Etapa 12.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 1 {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Etapa 12.2.2

Multiplique ${((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$ por $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Etapa 12.2.3

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Etapa 12.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Etapa 12.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Etapa 12.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 4}{2})}^{3}$

Etapa 12.2.6.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Etapa 12.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Etapa 12.2.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$

Etapa 12.2.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})$

Etapa 12.2.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}}$

Etapa 12.2.10

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{2^{3}}$

Etapa 12.2.11

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{8}$

Etapa 12.2.12

A resposta final é $- \frac{27}{8}$ .

$y = - \frac{27}{8}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2 + 48$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$24 \cdot 4 - 72 \cdot 2 + 48$

Etapa 14.1.2

Multiplique $24$ por $4$ .

$96 - 72 \cdot 2 + 48$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 72$ por $2$ .

$96 - 144 + 48$

Etapa 14.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $144$ de $96$ .

$- 48 + 48$

Etapa 14.2.2

Some $- 48$ e $48$ .

$0$

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na primeira derivada $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 8 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Etapa 15.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 8 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Etapa 15.2.2.1.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Etapa 15.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 48 (0) - 16$

Etapa 15.2.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 48 (0) - 16$

Etapa 15.2.2.1.5

Multiplique $48$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 16$

Etapa 15.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 16$

Etapa 15.2.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 16$

Etapa 15.2.2.2.3

Subtraia $16$ de $0$ .

$f' (0) = - 16$

Etapa 15.2.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(\frac{1}{2}, 2)$ na primeira derivada $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 8 \cdot 1 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Etapa 15.3.2.1.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Etapa 15.3.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 8 - 36 \cdot 1 + 48 (1) - 16$

Etapa 15.3.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 (1) - 16$

Etapa 15.3.2.1.5

Multiplique $48$ por $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 - 16$

Etapa 15.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.2.1

Subtraia $36$ de $8$ .

$f' (1) = - 28 + 48 - 16$

Etapa 15.3.2.2.2

Some $- 28$ e $48$ .

$f' (1) = 20 - 16$

Etapa 15.3.2.2.3

Subtraia $16$ de $20$ .

$f' (1) = 4$

Etapa 15.3.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 8 {(4)}^{3} - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = 8 \cdot 64 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Etapa 15.4.2.1.2

Multiplique $8$ por $64$ .

$f' (4) = 512 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Etapa 15.4.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 512 - 36 \cdot 16 + 48 (4) - 16$

Etapa 15.4.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $16$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 48 (4) - 16$

Etapa 15.4.2.1.5

Multiplique $48$ por $4$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 192 - 16$

Etapa 15.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.2.1

Subtraia $576$ de $512$ .

$f' (4) = - 64 + 192 - 16$

Etapa 15.4.2.2.2

Some $- 64$ e $192$ .

$f' (4) = 128 - 16$

Etapa 15.4.2.2.3

Subtraia $16$ de $128$ .

$f' (4) = 112$

Etapa 15.4.2.3

A resposta final é $112$ .

$112$

Etapa 15.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{1}{2}$ , então $x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local.

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 15.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$ .

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 16