Cálculo Exemplos

$y = - 2 \sec (4 x)$

Etapa 1

Escreva $y = - 2 \sec (4 x)$ como uma função.

$f (x) = - 2 \sec (4 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sec (4 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sec (u)$ em relação a $u$ é $\sec (u) \tan (u)$ .

$- 2 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$- 2 (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 \sec (4 x) \tan (4 x)$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\sec (4 x) \tan (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} (\sec (4 x) \tan (4 x))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (4 x)$ e $g (x) = \tan (4 x)$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (\tan (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.4

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{2} (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 8 ({\sec (4 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.6.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) (4 \cdot 1) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.6.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.6.4.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sec^{3} (4 x)$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \cdot \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 3.7.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 3.8

Eleve $\tan (4 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \tan (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 3.9

Eleve $\tan (4 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \tan (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 1} (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 3.11

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Etapa 3.12

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (4 \cdot 1))$

Etapa 3.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.14.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) \cdot 4)$

Etapa 3.14.2

Mova $4$ para a esquerda de $\tan^{2} (4 x) \sec (4 x)$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + 4 \cdot (\tan^{2} (4 x) \sec (4 x)))$

Etapa 3.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x)) - 8 (4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x))$

Etapa 3.15.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.2.1

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - 32 \sec^{3} (4 x) - 8 (4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x))$

Etapa 3.15.2.2

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - 32 \sec^{3} (4 x) - 32 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x)$

Etapa 3.15.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = - 32 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - 32 \sec^{3} (4 x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec (4 x) = 0$

$\tan (4 x) = 0$

Etapa 6

Defina $\sec (4 x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $\sec (4 x)$ como igual a $0$ .

$\sec (4 x) = 0$

Etapa 6.2

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

Defina $\tan (4 x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $\tan (4 x)$ como igual a $0$ .

$\tan (4 x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\tan (4 x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$4 x = \arctan (0)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$4 x = 0$

Etapa 7.2.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 7.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 7.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 7.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 7.2.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$4 x = π + 0$

Etapa 7.2.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Some $π$ e $0$ .

$4 x = π$

Etapa 7.2.5.2

Divida cada termo em $4 x = π$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.2.1

Divida cada termo em $4 x = π$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7.2.6

A solução para a equação $4 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{4}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{π}{4}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 32 \tan^{2} (4 (0)) \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$- 32 \tan^{2} (0) \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10.1.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- 32 \cdot 0^{2} \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 32 \cdot 0 \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- 32$ por $0$ .

$0 \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10.1.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 \sec (0) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10.1.6

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10.1.7

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Etapa 10.1.8

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - 32 \sec^{3} (0)$

Etapa 10.1.9

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 - 32 \cdot 1^{3}$

Etapa 10.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 - 32 \cdot 1$

Etapa 10.1.11

Multiplique $- 32$ por $1$ .

$0 - 32$

Etapa 10.2

Subtraia $32$ de $0$ .

$- 32$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 2 \sec (4 (0))$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = - 2 \sec (0)$

Etapa 12.2.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Etapa 12.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 32 \tan^{2} (4 (\frac{π}{4})) \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1.1

Cancele o fator comum.

$- 32 \tan^{2} (4 \frac{π}{4}) \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- 32 \tan^{2} (π) \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$- 32 {(- \tan (0))}^{2} \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$- 32 {(- 0)}^{2} \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 32 \cdot 0^{2} \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 32 \cdot 0 \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.6

Multiplique $- 32$ por $0$ .

$0 \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.7.1

Cancele o fator comum.

$0 \sec (4 \frac{π}{4}) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.7.2

Reescreva a expressão.

$0 \sec (π) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$0 (- \sec (0)) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.9

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.10

Multiplique $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.10.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 14.1.11

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.11.1

Cancele o fator comum.

$0 - 32 \sec^{3} (4 \frac{π}{4})$

Etapa 14.1.11.2

Reescreva a expressão.

$0 - 32 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.12

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$0 - 32 {(- \sec (0))}^{3}$

Etapa 14.1.13

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 - 32 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Etapa 14.1.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 32 {(- 1)}^{3}$

Etapa 14.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 - 32 \cdot - 1$

Etapa 14.1.16

Multiplique $- 32$ por $- 1$ .

$0 + 32$

Etapa 14.2

Some $0$ e $32$ .

$32$

Etapa 15

$x = \frac{π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sec (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sec (4 (\frac{π}{4}))$

Etapa 16.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sec (π)$

Etapa 16.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 (- \sec (0))$

Etapa 16.2.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.2.4

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \cdot - 1$

Etapa 16.2.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2$

Etapa 16.2.5

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 2 \sec (4 x)$ .

$(0, - 2)$ é um máximo local

$(\frac{π}{4}, 2)$ é um mínimo local

Etapa 18