Cálculo Exemplos

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Etapa 1

Escreva $y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ como uma função.

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Etapa 2.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{π}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{12} (x - 2)$ em relação a $x$ é $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Etapa 2.2.6

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

Etapa 2.2.7

Some $1$ e $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Etapa 2.2.8

Multiplique $\frac{π}{12}$ por $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

Etapa 2.2.9

Combine $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ e $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Etapa 2.2.10

Combine $5$ e $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

Etapa 2.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{π}{12}$ e $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.5

Combine $\frac{π}{12}$ e $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Etapa 2.3.2.6

Some $0$ e $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $\frac{5 π}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ em relação a $x$ é $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Combine $\frac{5 π}{12}$ e $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 3.3.3

Como $\frac{π}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{12}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\frac{π}{12}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 3.3.6

Como $- \frac{π}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{6}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

Etapa 3.3.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Some $\frac{π}{12}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $\frac{π}{12}$ por $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

Etapa 3.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Etapa 3.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Etapa 3.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Etapa 3.8

Multiplique $12$ por $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

Etapa 5

Defina o numerador como igual a zero.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Etapa 6

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ por $5 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Divida cada termo em $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ por $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Etapa 6.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Etapa 6.1.2.2.2

Divida $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ por $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1.1

Fatore $5$ de $0$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

Etapa 6.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1.2.1

Fatore $5$ de $5 π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

Etapa 6.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

Etapa 6.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Etapa 6.1.3.2

Divida $0$ por $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Etapa 6.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Etapa 6.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Some $\frac{π}{6}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Etapa 6.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Etapa 6.4.5.2

Some $3 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

Etapa 6.4.6

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Etapa 6.4.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Etapa 6.4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.5

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.6.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Etapa 6.6.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1.2.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Etapa 6.6.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Etapa 6.6.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = 4 \cdot 2$

Etapa 6.6.2.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = 8$

Etapa 6.7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.8.1.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.8.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.8.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.8.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.8.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Some $\frac{π}{6}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.8.2.2

Para escrever $\frac{3 π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.8.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.3.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.8.2.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Etapa 6.8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

Etapa 6.8.2.5.2

Some $9 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

Etapa 6.8.2.6

Cancele o fator comum de $10$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.6.1

Fatore $2$ de $10 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Etapa 6.8.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Etapa 6.8.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.8.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.1.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.2.1

Simplifique $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.2.1.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.8.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

Etapa 6.8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.4.2.1.2.1

Fatore $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Etapa 6.8.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Etapa 6.8.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = 4 \cdot 5$

Etapa 6.8.4.2.1.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$x = 20$

Etapa 6.9

A solução para a equação $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada em $x = 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $8$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $4$ de $π (8)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.2.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Etapa 8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

Etapa 8.2.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

Etapa 8.2.6

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

Etapa 8.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Etapa 8.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Etapa 8.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

Etapa 8.2.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

Etapa 8.2.8

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

Etapa 9

$x = 8$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 8$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Subtraia $2$ de $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

Etapa 10.2.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

Etapa 10.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

Etapa 10.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

Etapa 10.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

Etapa 10.2.2

Some $- 2$ e $5$ .

$f (8) = 3$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 20$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Cancele o fator comum de $20$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Fatore $4$ de $π (20)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Mova $5$ para a esquerda de $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.2.2

Para escrever $\frac{5 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Multiplique $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Etapa 12.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

Etapa 12.2.5.2

Subtraia $π$ de $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

Etapa 12.2.6

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

Etapa 12.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

Etapa 12.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

Etapa 12.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

Etapa 12.2.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

Etapa 12.2.8

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

Etapa 12.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

Etapa 12.2.10

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Etapa 12.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

Etapa 12.4

Multiplique $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

Etapa 12.4.2

Multiplique $\frac{5 π^{2}}{144}$ por $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

Etapa 13

$x = 20$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 20$ é um mínimo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $20$ na expressão.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Subtraia $2$ de $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

Etapa 14.2.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

Etapa 14.2.1.2.2

Fatore $6$ de $18$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Etapa 14.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Etapa 14.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Etapa 14.2.1.3

Combine $\frac{π}{2}$ e $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Etapa 14.2.1.4

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Etapa 14.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 14.2.1.7

Multiplique $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

Etapa 14.2.1.7.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

Etapa 14.2.2

Subtraia $5$ de $- 2$ .

$f (20) = - 7$

Etapa 14.2.3

A resposta final é $- 7$ .

$y = - 7$

Etapa 15

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ é um máximo local

$(20, - 7)$ é um mínimo local

Etapa 16