Cálculo Exemplos

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Etapa 1

Escreva $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ como uma função.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 13 \cos (h x)$ em relação a $x$ é $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = h x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.2.3

Como $h$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $h x$ em relação a $x$ é $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $h$ por $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 \sin (h x)$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = h x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

Etapa 2.3.3

Como $h$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $h x$ em relação a $x$ é $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $h$ por $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $13 h$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13 h \sin (h x)$ em relação a $x$ é $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = h x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.3

Como $h$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $h x$ em relação a $x$ é $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.5

Multiplique $h$ por $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.6

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.7

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $12 h$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 h \cos (h x)$ em relação a $x$ é $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = h x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

Etapa 3.3.3

Como $h$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $h x$ em relação a $x$ é $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $h$ por $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

Etapa 3.3.7

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Etapa 3.3.8

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Etapa 3.3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

Etapa 3.3.10

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

Etapa 5

Divida cada termo na equação por $\cos (h x)$ .

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ em $\tan (h x)$ .

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Etapa 8

Divida $13 h$ por $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $\cos (h x)$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Etapa 9.2

Divida $12 h$ por $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

Etapa 10

Separe as frações.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Etapa 11

Converta de $\frac{1}{\cos (h x)}$ em $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Etapa 12

Divida $0$ por $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

Etapa 13

Multiplique $0$ por $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

Etapa 14

Subtraia $12 h$ dos dois lados da equação.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

Etapa 15

Divida cada termo em $13 h \tan (h x) = - 12 h$ por $13 h$ e simplifique.

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Etapa 15.1

Divida cada termo em $13 h \tan (h x) = - 12 h$ por $13 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Etapa 15.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 15.2.1

Cancele o fator comum de $13$ .

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Etapa 15.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Etapa 15.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Etapa 15.2.2

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 15.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Etapa 15.2.2.2

Divida $\tan (h x)$ por $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Etapa 15.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 15.3.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 15.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Etapa 15.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

Etapa 15.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

Etapa 16

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

Etapa 17

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.1

Avalie $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

Etapa 18

Divida cada termo em $h x = - 0.74541947$ por $h$ e simplifique.

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Etapa 18.1

Divida cada termo em $h x = - 0.74541947$ por $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Etapa 18.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 18.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 18.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Etapa 18.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

Etapa 18.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 18.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

Etapa 19

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

Etapa 20

Some $2 π$ a $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 21

O ângulo resultante de $2.39617317$ é positivo e coterminal com $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.39617317$

Etapa 22

Divida cada termo em $h x = 2.39617317$ por $h$ e simplifique.

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Etapa 22.1

Divida cada termo em $h x = 2.39617317$ por $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Etapa 22.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 22.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 22.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Etapa 22.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

Etapa 23

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2.39617317}{h}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Etapa 24

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 24.1.1

Cancele o fator comum.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Etapa 24.1.2

Reescreva a expressão.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Etapa 24.2

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 24.2.1

Cancele o fator comum.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

Etapa 24.2.2

Reescreva a expressão.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

Etapa 25

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 26