Cálculo Exemplos

$y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Etapa 1

Escreva $y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ como uma função.

$f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ e $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $700 - \frac{4 x}{3}$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $700 - \frac{4 x}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Etapa 2.3.4

Como $700$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $700$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Etapa 2.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Etapa 2.3.6

Como $- \frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 x}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Combine $x$ e $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.7.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Etapa 2.3.9

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Etapa 2.3.9.2

Subtraia $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Etapa 2.3.9.3

Combine $- 2$ e $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Etapa 2.3.9.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.4.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Etapa 2.3.9.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Etapa 2.4.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Etapa 2.4.2.4

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Etapa 2.4.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{16 x}{3} + 1400$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [1400]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (1400)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- \frac{16}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{16 x}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1400)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1400)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (1400)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $1400$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1400$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $- \frac{16}{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Etapa 5.1.2

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $700 - \frac{4 x}{3}$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Etapa 5.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $700 - \frac{4 x}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Etapa 5.1.3.4

Como $700$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $700$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Etapa 5.1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Etapa 5.1.3.6

Como $- \frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 x}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.1.3.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.7.1

Combine $x$ e $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.3.7.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Etapa 5.1.3.9

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Etapa 5.1.3.9.2

Subtraia $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Etapa 5.1.3.9.3

Combine $- 2$ e $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Etapa 5.1.3.9.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.9.4.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Etapa 5.1.3.9.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Etapa 5.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Multiplique $2$ por $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Etapa 5.1.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Etapa 5.1.4.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Etapa 5.1.4.2.4

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Etapa 5.1.4.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Etapa 5.1.4.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 1400$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{16 x}{3} + 1400$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1400$ dos dois lados da equação.

$- \frac{16 x}{3} = - 1400$

Etapa 6.3

Multiplique os dois lados da equação por $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Simplifique $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{16}$ para o numerador.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.1.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{16 x}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.1.3

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.1.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1.2.1

Fatore $16$ de $- 16 x$ .

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.1.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique $- \frac{3}{16} \cdot - 1400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{16}$ para o numerador.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Fatore $8$ de $16$ .

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 1400$

Etapa 6.4.2.1.1.3

Fatore $8$ de $- 1400$ .

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Etapa 6.4.2.1.1.4

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Etapa 6.4.2.1.1.5

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 175$

Etapa 6.4.2.1.2

Combine $\frac{- 3}{2}$ e $- 175$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 175}{2}$

Etapa 6.4.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 175$ .

$x = \frac{525}{2}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{525}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{525}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{16}{3}$

Etapa 10

$x = \frac{525}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{525}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{525}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{525}{2}$ na expressão.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Etapa 11.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{4 \cdot 525}{2}}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $4$ por $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2100}{2}}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Cancele o fator comum de $2100$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2100$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2}}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 (1)}}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 \cdot 1}}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{1050}{1}}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.1.2.4

Divida $1050$ por $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{1050}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum de $1050$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Fatore $3$ de $1050$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 (1)}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 \cdot 1}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{350}{1}) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.2.2.4

Divida $350$ por $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 1 \cdot 350) \cdot 525$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $350$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 350) \cdot 525$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Subtraia $350$ de $700$ .

$f (\frac{525}{2}) = 350 \cdot 525$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $350$ por $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = 183750$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $183750$ .

$y = 183750$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ .

$(\frac{525}{2}, 183750)$ é um máximo local

Etapa 13