Cálculo Exemplos

$y = x e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 1

Escreva $y = x e^{\frac{x}{2}}$ como uma função.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 2.3.6.2

Reordene os fatores em $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{\frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.7

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.8

Combine $e^{\frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.9

Combine $x$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.2.10

Multiplique $e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2})$

Etapa 3.3.5

Combine $e^{\frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.2.4

Some $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + 2 (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2})$

Etapa 3.4.2.5

Combine $2$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 3.4.2.6.2

Divida $e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.2.2

Combine $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Etapa 5.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.1

Multiplique $e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 5.1.3.6.2

Reordene os fatores em $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Etapa 6.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $e^{\frac{x}{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $e^{\frac{x}{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $e^{\frac{x}{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Etapa 6.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.4.2.3

Não há uma solução para $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.5

Defina $\frac{x}{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $\frac{x}{2} + 1$ como igual a $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $\frac{x}{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = - 1$

Etapa 6.5.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.5.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(- 2) e^{\frac{- 2}{2}}}{4} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Mova $e^{\frac{- 2}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{- 2}{2}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{- 1}{1}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4 e^{- - 1}$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 e^{- - 1})} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 e^{- - 1})} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 e^{1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.4.2

Simplifique.

$\frac{- 1}{2 e} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 e} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 10.1.6

Divida $- 2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 e} + e^{- 1}$

Etapa 10.1.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{e}$

Etapa 10.2

Para escrever $\frac{1}{e}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 e$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{2}{e \cdot 2}$

Etapa 10.3.2

Reordene os fatores de $e \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{2}{2 e}$

Etapa 10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 2}{2 e}$

Etapa 10.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 e}$

Etapa 11

$x = - 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Divida $- 2$ por $2$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{- 1}$

Etapa 12.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 12.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e}$

Etapa 12.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = - \frac{2}{e}$

Etapa 12.2.5

A resposta final é $- \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$(- 2, - \frac{2}{e})$ é um mínimo local

Etapa 14