Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} [- 16]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ e $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (16)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 0$

Etapa 3.4.2

Some $12 x^{2} - 24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 16 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $4$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 16 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $4$ de $16$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 6.2.2.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.2.2.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 6.2.2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Etapa 6.2.2.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Etapa 6.2.2.3.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Etapa 6.2.2.3.5

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Etapa 6.2.2.3.6

Some $- 4$ e $4$ .

$0$

Etapa 6.2.2.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Etapa 6.2.2.5

Divida $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ por $x + 1$ .

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Etapa 6.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 6.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Etapa 6.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 6.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 6.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 6.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 6.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Etapa 6.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Etapa 6.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Etapa 6.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Etapa 6.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x + 4$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Etapa 6.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Etapa 6.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 6.2.2.6

Escreva $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore.

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Etapa 6.2.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.2.3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 6.2.3.1.3

Reescreva o polinômio.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.2.3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((x + 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Etapa 6.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.5

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.5.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.5.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1, 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 1 - 24 \cdot - 1$

Etapa 10.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 - 24 \cdot - 1$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$12 + 24$

Etapa 10.2

Some $12$ e $24$ .

$36$

Etapa 11

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 1 - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = 1 - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1) - 16$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 4 + 16 (- 1) - 16$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 4 - 16 - 16$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $1$ e $4$ .

$f (- 1) = 5 - 16 - 16$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $16$ de $5$ .

$f (- 1) = - 11 - 16$

Etapa 12.2.2.3

Subtraia $16$ de $- 11$ .

$f (- 1) = - 27$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 27$ .

$y = - 27$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 4 - 24 \cdot 2$

Etapa 14.1.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$48 - 24 \cdot 2$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$48 - 48$

Etapa 14.2

Subtraia $48$ de $48$ .

$0$

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 12 {(- 4)}^{2} + 16$

Etapa 15.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 12 {(- 4)}^{2} + 16$

Etapa 15.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 12 {(- 4)}^{2} + 16$

Etapa 15.2.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - 256 - 12 \cdot 16 + 16$

Etapa 15.2.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $16$ .

$f' (- 4) = - 256 - 192 + 16$

Etapa 15.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Subtraia $192$ de $- 256$ .

$f' (- 4) = - 448 + 16$

Etapa 15.2.2.2.2

Some $- 448$ e $16$ .

$f' (- 4) = - 432$

Etapa 15.2.2.3

A resposta final é $- 432$ .

$- 432$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 1, 2)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 16$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} + 16$

Etapa 15.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{2} + 16$

Etapa 15.3.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 16$

Etapa 15.3.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 16$

Etapa 15.3.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 16$

Etapa 15.3.2.2.2

Some $0$ e $16$ .

$f' (0) = 16$

Etapa 15.3.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2} + 16$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2} + 16$

Etapa 15.4.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2} + 16$

Etapa 15.4.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2} + 16$

Etapa 15.4.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2} + 16$

Etapa 15.4.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16 + 16$

Etapa 15.4.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $16$ .

$f' (4) = 256 - 192 + 16$

Etapa 15.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.2.1

Subtraia $192$ de $256$ .

$f' (4) = 64 + 16$

Etapa 15.4.2.2.2

Some $64$ e $16$ .

$f' (4) = 80$

Etapa 15.4.2.3

A resposta final é $80$ .

$80$

Etapa 15.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um mínimo local.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 15.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 2$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 15.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ .

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 16