Cálculo Exemplos

$y = - 4 x + 5 x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 1

Escreva $y = - 4 x + 5 x^{\frac{4}{5}}$ como uma função.

$f (x) = - 4 x + 5 x^{\frac{4}{5}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x + 5 x^{\frac{4}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{4}{5}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$- 4 + 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Etapa 2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Etapa 2.3.8

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$- 4 + 5 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 2.3.9

Combine $5$ e $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$- 4 + \frac{5 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $4$ por $5$ .

$- 4 + \frac{20 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 2.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 + \frac{20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.3.12

Fatore $5$ de $20$ .

$- 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.13.1

Fatore $5$ de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 (x^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 2.3.13.2

Cancele o fator comum.

$- 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 2.3.13.3

Reescreva a expressão.

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 3.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ como ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 3.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 3.2.5.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Etapa 3.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Etapa 3.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Etapa 3.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Etapa 3.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Etapa 3.2.9.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Etapa 3.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Etapa 3.2.11

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Etapa 3.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 3.2.13

Multiplique $x^{- \frac{4}{5}}$ por $x^{- \frac{2}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Etapa 3.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Etapa 3.2.13.3

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Etapa 3.2.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 4 (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Etapa 3.2.14

Mova $x^{- \frac{6}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Etapa 3.2.15

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 3.2.16

Combine $- 4$ e $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 4}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 3.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{4}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 3.3

Subtraia $\frac{4}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x + 5 x^{\frac{4}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{4}{5}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$- 4 + 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{5}$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Etapa 5.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Etapa 5.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 5.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Etapa 5.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Etapa 5.1.3.6.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Etapa 5.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 + 5 (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Etapa 5.1.3.8

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$- 4 + 5 \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 5.1.3.9

Combine $5$ e $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$- 4 + \frac{5 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5}$

Etapa 5.1.3.10

Multiplique $4$ por $5$ .

$- 4 + \frac{20 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Etapa 5.1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 + \frac{20}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 5.1.3.12

Fatore $5$ de $20$ .

$- 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 5.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.13.1

Fatore $5$ de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$- 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 (x^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 5.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$- 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 5.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = - 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Etapa 6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} = 4$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{5}}, 1$

Etapa 6.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} = 4$ por $x^{\frac{1}{5}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} = 4$ por $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 4 x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} = 4 x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 6.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$4 = 4 x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $4 x^{\frac{1}{5}} = 4$ .

$4 x^{\frac{1}{5}} = 4$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $4 x^{\frac{1}{5}} = 4$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $4 x^{\frac{1}{5}} = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{5}}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{\frac{1}{5}}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{5}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{5}} = \frac{4}{4}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x^{\frac{1}{5}} = 1$

Etapa 6.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $5$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 1^{5}$

Etapa 6.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{5}$

Etapa 6.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{5}$

Etapa 6.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 1^{5}$

Etapa 6.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = 1^{5}$

Etapa 6.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- 4 + \frac{4}{\sqrt[5]{x^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- 4 + \frac{4}{\sqrt[5]{x}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{4}{\sqrt[5]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[5]{x} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${\sqrt[5]{x}}^{5} = 0^{5}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 7.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 7.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{5}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{5}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4}{5 {(1)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{4}{5 \cdot 1}$

Etapa 10.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Etapa 11

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - 4 \cdot 1 + 5 {(1)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f (1) = - 4 + 5 {(1)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 12.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - 4 + 5 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (1) = - 4 + 5$

Etapa 12.2.2

Some $- 4$ e $5$ .

$f (1) = 1$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{4}{5 {(0)}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$- \frac{4}{5 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 14.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{4}{5 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}}$

Etapa 14.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{4}{5 \cdot 0^{6}}$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{4}{5 \cdot 0}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{4}{0}$

Etapa 14.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{4}{0}$

Etapa 14.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 4 + \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 15.2.2

A resposta final é $- 4 + \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$- 4 + \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f' (0.5) = - 4 + \frac{4}{{(0.5)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $\frac{1}{5}$ .

$f' (0.5) = - 4 + \frac{4}{0.87055056}$

Etapa 15.3.2.1.2

Divida $4$ por $0.87055056$ .

$f' (0.5) = - 4 + 4.59479341$

Etapa 15.3.2.2

Some $- 4$ e $4.59479341$ .

$f' (0.5) = 0.59479341$

Etapa 15.3.2.3

A resposta final é $0.59479341$ .

$0.59479341$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $- 4 + \frac{4}{x^{\frac{1}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 4 + \frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.1

Mova ${(4)}^{\frac{1}{5}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (4) = - 4 + 4 \cdot 4^{- \frac{1}{5}}$

Etapa 15.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4^{- \frac{1}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.2.1

Multiplique $4$ por $4^{- \frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = - 4 + 4 \cdot 4^{- \frac{1}{5}}$

Etapa 15.4.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = - 4 + 4^{1 - \frac{1}{5}}$

Etapa 15.4.2.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (4) = - 4 + 4^{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}$

Etapa 15.4.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (4) = - 4 + 4^{\frac{5 - 1}{5}}$

Etapa 15.4.2.1.2.4

Subtraia $1$ de $5$ .

$f' (4) = - 4 + 4^{\frac{4}{5}}$

Etapa 15.4.2.2

A resposta final é $- 4 + 4^{\frac{4}{5}}$ .

$- 4 + 4^{\frac{4}{5}}$

Etapa 15.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 15.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um máximo local.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 15.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 4 x + 5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 16