Cálculo Exemplos

$y = 4 \sec (x)$

Etapa 1

Escreva $y = 4 \sec (x)$ como uma função.

$f (x) = 4 \sec (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sec (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \sec (x) \tan (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sec (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 3.4

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ .

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Etapa 3.4.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 3.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 4 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 3.4.2

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 3.5

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 3.6

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Etapa 3.7

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (x) + 4 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Etapa 3.10.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (x) \sec (x) + 4 \sec^{3} (x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 \sec (x) \tan (x) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Etapa 6

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\sec (x)$ como igual a $0$ .

$\sec (x) = 0$

Etapa 6.2

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 7.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 7.2.5

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $4 \sec (x) \tan (x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, π$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \tan^{2} (0) \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Etapa 10.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Etapa 10.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Etapa 10.1.4

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 \sec^{3} (0)$

Etapa 10.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (0)$

Etapa 10.1.6

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 + 4 \cdot 1^{3}$

Etapa 10.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 + 4 \cdot 1$

Etapa 10.1.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$0 + 4$

Etapa 10.2

Some $0$ e $4$ .

$4$

Etapa 11

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 4 \sec (0)$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Etapa 12.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (0) = 4$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \tan^{2} (π) \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$4 {(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$4 {(- 0)}^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$0 (- \sec (0)) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.7

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.8

Multiplique $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 14.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1 + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.8.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (π)$

Etapa 14.1.9

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$0 + 4 {(- \sec (0))}^{3}$

Etapa 14.1.10

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 + 4 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Etapa 14.1.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 4 {(- 1)}^{3}$

Etapa 14.1.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 + 4 \cdot - 1$

Etapa 14.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$0 - 4$

Etapa 14.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 15

$x = π$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 4 \sec (π)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$f (π) = 4 (- \sec (0))$

Etapa 16.2.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$f (π) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.2.3

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 4 \cdot - 1$

Etapa 16.2.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (π) = - 4$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 \sec (x)$ .

$(0, 4)$ é um mínimo local

$(π, - 4)$ é um máximo local

Etapa 18