Cálculo Exemplos

$y = 4 - 11 x^{2} + \frac{1}{5} x^{4}$

Etapa 1

Escreva $y = 4 - 11 x^{2} + \frac{1}{5} x^{4}$ como uma função.

$f (x) = 4 - 11 x^{2} + \frac{1}{5} x^{4}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 11 x^{2} + \frac{1}{5} x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 2.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 11 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$0 - 22 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{5} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 22 x + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 - 22 x + \frac{1}{5} (4 x^{3})$

Etapa 2.3.3

Combine $4$ e $\frac{1}{5}$ .

$0 - 22 x + \frac{4}{5} x^{3}$

Etapa 2.3.4

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{3}$ .

$0 - 22 x + \frac{4 x^{3}}{5}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $22 x$ de $0$ .

$- 22 x + \frac{4 x^{3}}{5}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 22 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{5}) + \frac{d}{d x} (- 22 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $\frac{4}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 22 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 22 x)$

Etapa 3.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 4}{5} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 22 x)$

Etapa 3.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 22 x)$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{12}{5}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{5} + \frac{d}{d x} (- 22 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 22 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 22$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 22 x$ em relação a $x$ é $- 22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{5} - 22 \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{5} - 22 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 22$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{5} - 22$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 11 x^{2} + \frac{1}{5} x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 5.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 11 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$0 - 22 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{5} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 22 x + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 - 22 x + \frac{1}{5} (4 x^{3})$

Etapa 5.1.3.3

Combine $4$ e $\frac{1}{5}$ .

$0 - 22 x + \frac{4}{5} x^{3}$

Etapa 5.1.3.4

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{3}$ .

$0 - 22 x + \frac{4 x^{3}}{5}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Subtraia $22 x$ de $0$ .

$- 22 x + \frac{4 x^{3}}{5}$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{5} - 22 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x$ .

$\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x = 0$

Etapa 6.2

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x = 0$ por $5$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{4 x^{3}}{5} - 22 x = 0$ por $5$ .

$\frac{4 x^{3}}{5} \cdot 5 - 22 x \cdot 5 = 0 \cdot 5$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{5} \cdot 5 - 22 x \cdot 5 = 0 \cdot 5$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{3} - 22 x \cdot 5 = 0 \cdot 5$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $- 22$ .

$4 x^{3} - 110 x = 0 \cdot 5$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $0$ por $5$ .

$4 x^{3} - 110 x = 0$

Etapa 6.3

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} - 110 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 110 x = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $2 x$ de $- 110 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 55) = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 55)$ .

$2 x (2 x^{2} - 55) = 0$

Etapa 6.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 55 = 0$

Etapa 6.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.6

Defina $2 x^{2} - 55$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $2 x^{2} - 55$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 55 = 0$

Etapa 6.6.2

Resolva $2 x^{2} - 55 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Some $55$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 55$

Etapa 6.6.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 55$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 55$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{55}{2}$

Etapa 6.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{55}{2}$

Etapa 6.6.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{55}{2}$

Etapa 6.6.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{55}{2}}$

Etapa 6.6.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{55}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{55}{2}}$ como $\frac{\sqrt{55}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.6.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{55}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.6.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{55}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.6.2.4.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 6.6.2.4.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 6.6.2.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.6.2.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.6.2.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.6.2.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.6.2.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.2.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.6.2.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 6.6.2.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{55} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6.6.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{55 \cdot 2}}{2}$

Etapa 6.6.2.4.4.2

Multiplique $55$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{110}}{2}$

Etapa 6.6.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{110}}{2}$

Etapa 6.6.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{110}}{2}$

Etapa 6.6.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{110}}{2}, - \frac{\sqrt{110}}{2}$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 x^{2} - 55) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{\sqrt{110}}{2}, - \frac{\sqrt{110}}{2}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{\sqrt{110}}{2}, - \frac{\sqrt{110}}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{12 {(0)}^{2}}{5} - 22$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{12 \cdot 0}{5} - 22$

Etapa 10.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{0}{5} - 22$

Etapa 10.1.3

Divida $0$ por $5$ .

$0 - 22$

Etapa 10.2

Subtraia $22$ de $0$ .

$- 22$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 4 - 11 {(0)}^{2} + \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 4 - 11 \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 11$ por $0$ .

$f (0) = 4 + 0 + \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{4}$

Etapa 12.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 4 + 0 + \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$f (0) = 4 + 0 + 0$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = 4 + 0$

Etapa 12.2.2.2

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = 4$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{110}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{12 {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{2}}{5} - 22$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$\frac{12 \frac{{\sqrt{110}}^{2}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.2

Reescreva ${\sqrt{110}}^{2}$ como $110$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{110}$ como $110^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 \frac{{(110^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \frac{110^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{12 \frac{110^{1}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{12 \frac{110}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{12 (\frac{110}{4})}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.4

Cancele o fator comum de $110$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1.4.1

Fatore $2$ de $110$ .

$\frac{12 \frac{2 (55)}{4}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{12 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2}}{5} - 22$

Etapa 14.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12 (\frac{55}{2})}{5} - 22$

Etapa 14.1.2

Combine $12$ e $\frac{55}{2}$ .

$\frac{\frac{12 \cdot 55}{2}}{5} - 22$

Etapa 14.1.3

Multiplique $12$ por $55$ .

$\frac{\frac{660}{2}}{5} - 22$

Etapa 14.1.4

Divida $660$ por $2$ .

$\frac{330}{5} - 22$

Etapa 14.1.5

Divida $330$ por $5$ .

$66 - 22$

Etapa 14.2

Subtraia $22$ de $66$ .

$44$

Etapa 15

$x = \frac{\sqrt{110}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{110}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{110}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{110}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{2} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{{\sqrt{110}}^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.2

Reescreva ${\sqrt{110}}^{2}$ como $110$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{110}$ como $110^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{{(110^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 (\frac{110}{4}) + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.4

Cancele o fator comum de $110$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.4.1

Fatore $2$ de $110$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{2 (55)}{4} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 (\frac{55}{2}) + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $- 11 (\frac{55}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.5.1

Combine $- 11$ e $\frac{55}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 + \frac{- 11 \cdot 55}{2} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.5.2

Multiplique $- 11$ por $55$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 + \frac{- 605}{2} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 16.2.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{{\sqrt{110}}^{4}}{2^{4}}$

Etapa 16.2.1.8

Combine.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1 {\sqrt{110}}^{4}}{5 \cdot 2^{4}}$

Etapa 16.2.1.9

Multiplique ${\sqrt{110}}^{4}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{{\sqrt{110}}^{4}}{5 \cdot 2^{4}}$

Etapa 16.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{{\sqrt{110}}^{4}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.11.1

Reescreva ${\sqrt{110}}^{4}$ como $110^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.11.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{110}$ como $110^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{{(110^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{4}{2}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.11.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.11.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2}{1}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{2}}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.11.2

Eleve $110$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{12100}{5 \cdot 16}$

Etapa 16.2.1.12

Multiplique $5$ por $16$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{12100}{80}$

Etapa 16.2.1.13

Cancele o fator comum de $12100$ e $80$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.13.1

Fatore $20$ de $12100$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{20 (605)}{80}$

Etapa 16.2.1.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.13.2.1

Fatore $20$ de $80$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{20 \cdot 605}{20 \cdot 4}$

Etapa 16.2.1.13.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{20 \cdot 605}{20 \cdot 4}$

Etapa 16.2.1.13.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 16.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4}{1} - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 16.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 16.2.2.3

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 16.2.2.4

Multiplique $\frac{605}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - (\frac{605}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{605}{4}$

Etapa 16.2.2.5

Multiplique $\frac{605}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{605 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{605}{4}$

Etapa 16.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{605 \cdot 2}{4} + \frac{605}{4}$

Etapa 16.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4 - 605 \cdot 2 + 605}{4}$

Etapa 16.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{16 - 605 \cdot 2 + 605}{4}$

Etapa 16.2.4.2

Multiplique $- 605$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{16 - 1210 + 605}{4}$

Etapa 16.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.5.1

Subtraia $1210$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{- 1194 + 605}{4}$

Etapa 16.2.5.2

Some $- 1194$ e $605$ .

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{- 589}{4}$

Etapa 16.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{110}}{2}) = - \frac{589}{4}$

Etapa 16.2.6

A resposta final é $- \frac{589}{4}$ .

$y = - \frac{589}{4}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{110}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{12 {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{2}}{5} - 22$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$\frac{12 {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{2}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{12 \cdot 1 {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{2}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 1 \frac{{\sqrt{110}}^{2}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.4

Reescreva ${\sqrt{110}}^{2}$ como $110$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{110}$ como $110^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 \cdot 1 \frac{{(110^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \cdot 1 \frac{110^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 \cdot 1 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 1 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{12 \cdot 1 \frac{110^{1}}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{12 \cdot 1 \frac{110}{2^{2}}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{12 \cdot 1 \frac{110}{4}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.6

Cancele o fator comum de $110$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.6.1

Fatore $2$ de $110$ .

$\frac{12 \cdot 1 \frac{2 (55)}{4}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{12 \cdot 1 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 1 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12 \cdot 1 \frac{55}{2}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1.7.1

Multiplique $12$ por $1$ .

$\frac{12 (\frac{55}{2})}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.7.2

Combine $12$ e $\frac{55}{2}$ .

$\frac{\frac{12 \cdot 55}{2}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.7.3

Multiplique $12$ por $55$ .

$\frac{\frac{660}{2}}{5} - 22$

Etapa 18.1.1.8

Divida $660$ por $2$ .

$\frac{330}{5} - 22$

Etapa 18.1.2

Divida $330$ por $5$ .

$66 - 22$

Etapa 18.2

Subtraia $22$ de $66$ .

$44$

Etapa 19

$x = - \frac{\sqrt{110}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{110}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{110}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{110}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{2} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{2}) + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{110}}^{2}}{2^{2}})) + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 (1 (\frac{{\sqrt{110}}^{2}}{2^{2}})) + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{110}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{{\sqrt{110}}^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{110}}^{2}$ como $110$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{110}$ como $110^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{{(110^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{110}{2^{2}} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 (\frac{110}{4}) + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.6

Cancele o fator comum de $110$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.6.1

Fatore $2$ de $110$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{2 (55)}{4} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 \frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - 11 (\frac{55}{2}) + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.7

Multiplique $- 11 (\frac{55}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.7.1

Combine $- 11$ e $\frac{55}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 + \frac{- 11 \cdot 55}{2} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.7.2

Multiplique $- 11$ por $55$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 + \frac{- 605}{2} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{110}}{2})}^{4}$

Etapa 20.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{110}}{2})}^{4})$

Etapa 20.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{110}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{110}}^{4}}{2^{4}}))$

Etapa 20.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1}{5} \cdot (1 (\frac{{\sqrt{110}}^{4}}{2^{4}}))$

Etapa 20.2.1.11

Multiplique $\frac{{\sqrt{110}}^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{{\sqrt{110}}^{4}}{2^{4}}$

Etapa 20.2.1.12

Combine.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{1 {\sqrt{110}}^{4}}{5 \cdot 2^{4}}$

Etapa 20.2.1.13

Multiplique ${\sqrt{110}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{{\sqrt{110}}^{4}}{5 \cdot 2^{4}}$

Etapa 20.2.1.14

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{{\sqrt{110}}^{4}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 20.2.1.15.1

Reescreva ${\sqrt{110}}^{4}$ como $110^{2}$ .

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Etapa 20.2.1.15.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{110}$ como $110^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{{(110^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{4}{2}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 20.2.1.15.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 20.2.1.15.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{\frac{2}{1}}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{110^{2}}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.15.2

Eleve $110$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{12100}{5 \cdot 16}$

Etapa 20.2.1.16

Multiplique $5$ por $16$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{12100}{80}$

Etapa 20.2.1.17

Cancele o fator comum de $12100$ e $80$ .

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Etapa 20.2.1.17.1

Fatore $20$ de $12100$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{20 (605)}{80}$

Etapa 20.2.1.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 20.2.1.17.2.1

Fatore $20$ de $80$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{20 \cdot 605}{20 \cdot 4}$

Etapa 20.2.1.17.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{20 \cdot 605}{20 \cdot 4}$

Etapa 20.2.1.17.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = 4 - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 20.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 20.2.2.1

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4}{1} - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 20.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 20.2.2.3

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{605}{2} + \frac{605}{4}$

Etapa 20.2.2.4

Multiplique $\frac{605}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - (\frac{605}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{605}{4}$

Etapa 20.2.2.5

Multiplique $\frac{605}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{605 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{605}{4}$

Etapa 20.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{605 \cdot 2}{4} + \frac{605}{4}$

Etapa 20.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{4 \cdot 4 - 605 \cdot 2 + 605}{4}$

Etapa 20.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 20.2.4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{16 - 605 \cdot 2 + 605}{4}$

Etapa 20.2.4.2

Multiplique $- 605$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{16 - 1210 + 605}{4}$

Etapa 20.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 20.2.5.1

Subtraia $1210$ de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{- 1194 + 605}{4}$

Etapa 20.2.5.2

Some $- 1194$ e $605$ .

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = \frac{- 589}{4}$

Etapa 20.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{110}}{2}) = - \frac{589}{4}$

Etapa 20.2.6

A resposta final é $- \frac{589}{4}$ .

$y = - \frac{589}{4}$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 - 11 x^{2} + \frac{1}{5} x^{4}$ .

$(0, 4)$ é um máximo local

$(\frac{\sqrt{110}}{2}, - \frac{589}{4})$ é um mínimo local

$(- \frac{\sqrt{110}}{2}, - \frac{589}{4})$ é um mínimo local

Etapa 22