Cálculo Exemplos

$y = \cos (x)$

Etapa 1

Escreva $y = \cos (x)$ como uma função.

$f (x) = \cos (x)$

Etapa 2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \sin (x) = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $- \sin (x) = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 9

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 10

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \cos (0)$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 13

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \cos (0)$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \cos (π)$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 16.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- - \cos (0)$

Etapa 16.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.3

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- - 1$

Etapa 16.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 17

$x = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = \cos (π)$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = - \cos (0)$

Etapa 18.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Etapa 18.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = - 1$

Etapa 18.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = \cos (x)$ .

$(0, 1)$ é um máximo local

$(π, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 20