Cálculo Exemplos

$y = - \cos (4 x - π)$

Etapa 1

Escreva $y = - \cos (4 x - π)$ como uma função.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (4 x - π)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x - π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - π$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - π$ .

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\sin (4 x - π)$ por $1$ .

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

Etapa 2.3.7

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

Etapa 2.3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Some $4$ e $0$ .

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

Etapa 2.3.8.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sin (4 x - π)$ .

$4 \sin (4 x - π)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (4 x - π)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x - π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 3.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 3.3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 3.3.5

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $4 \sin (4 x - π) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $4 \sin (4 x - π) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (4 x - π)$ por $1$ .

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$\sin (4 x - π) = 0$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$4 x - π = \arcsin (0)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$4 x - π = 0$

Etapa 8

Some $π$ aos dois lados da equação.

$4 x = π$

Etapa 9

Divida cada termo em $4 x = π$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida cada termo em $4 x = π$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 10

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$4 x - π = π - 0$

Etapa 11

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$4 x - π = π$

Etapa 11.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Some $π$ aos dois lados da equação.

$4 x = π + π$

Etapa 11.2.2

Some $π$ e $π$ .

$4 x = 2 π$

Etapa 11.3

Divida cada termo em $4 x = 2 π$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Divida cada termo em $4 x = 2 π$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Etapa 11.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Etapa 11.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Etapa 11.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 12

A solução para a equação $4 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Cancele o fator comum.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

Etapa 14.1.2

Reescreva a expressão.

$16 \cos (π - π)$

Etapa 14.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$16 \cos (0)$

Etapa 14.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$16 \cdot 1$

Etapa 14.4

Multiplique $16$ por $1$ .

$16$

Etapa 15

$x = \frac{π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Etapa 16.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

Etapa 16.2.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

Etapa 16.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 16.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Etapa 16.2.5

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

Etapa 18.1.2

Cancele o fator comum.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

Etapa 18.1.3

Reescreva a expressão.

$16 \cos (2 π - π)$

Etapa 18.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$16 \cos (π)$

Etapa 18.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$16 (- \cos (0))$

Etapa 18.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 18.5

Multiplique $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 18.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$16 \cdot - 1$

Etapa 18.5.2

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$- 16$

Etapa 19

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

Etapa 20.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

Etapa 20.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

Etapa 20.2.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

Etapa 20.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Etapa 20.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 20.2.5

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 20.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 20.2.6

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = - \cos (4 x - π)$ .

$(\frac{π}{4}, - 1)$ é um mínimo local

$(\frac{π}{2}, 1)$ é um máximo local

Etapa 22