Cálculo Exemplos

$y = 8 x^{3} - 90 x^{2} - 96 x + 5$

Etapa 1

Escreva $y = 8 x^{3} - 90 x^{2} - 96 x + 5$ como uma função.

$f (x) = 8 x^{3} - 90 x^{2} - 96 x + 5$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 90 x^{2} - 96 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 90$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 90 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 90 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 90 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 x^{2} - 90 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 90$ .

$24 x^{2} - 180 x + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $24 x^{2} - 180 x - 96$ e $0$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x^{2} - 180 x - 96$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 48 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 180$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 180 x$ em relação a $x$ é $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 48 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 48 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 180$ por $1$ .

$f'' (x) = 48 x - 180 + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 48 x - 180 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $48 x - 180$ e $0$ .

$f'' (x) = 48 x - 180$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$24 x^{2} - 180 x - 96 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 90$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 90 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 90 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 90 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 x^{2} - 90 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 90$ .

$24 x^{2} - 180 x + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 5.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 + 0$

Etapa 5.1.5.2

Some $24 x^{2} - 180 x - 96$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 180 x - 96$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{2} - 180 x - 96$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{2} - 180 x - 96 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$24 x^{2} - 180 x - 96 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $12$ de $24 x^{2} - 180 x - 96$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore $12$ de $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 180 x - 96 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $12$ de $- 180 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 15 x) - 96 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $12$ de $- 96$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 15 x) + 12 (- 8) = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $12$ de $12 (2 x^{2}) + 12 (- 15 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 15 x) + 12 (- 8) = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (2 x^{2} - 15 x) + 12 (- 8)$ .

$12 (2 x^{2} - 15 x - 8) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 8 = - 16$ e cuja soma é $b = - 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Fatore $- 15$ de $- 15 x$ .

$12 (2 x^{2} - 15 x - 8) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Reescreva $- 15$ como $1$ mais $- 16$

$12 (2 x^{2} + (1 - 16) x - 8) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 16 x - 8) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 16 x - 8) = 0$

Etapa 6.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$12 ((2 x^{2} + x) - 16 x - 8) = 0$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$12 (x (2 x + 1) - 8 (2 x + 1)) = 0$

Etapa 6.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 8)) = 0$

Etapa 6.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (2 x + 1) (x - 8) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 8 = 0$

Etapa 6.4

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (2 x + 1) (x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 8$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{1}{2}, 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 (- \frac{1}{2}) - 180$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$48 (\frac{- 1}{2}) - 180$

Etapa 10.1.1.2

Fatore $2$ de $48$ .

$2 (24) \frac{- 1}{2} - 180$

Etapa 10.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 24 \frac{- 1}{2} - 180$

Etapa 10.1.1.4

Reescreva a expressão.

$24 \cdot - 1 - 180$

Etapa 10.1.2

Multiplique $24$ por $- 1$ .

$- 24 - 180$

Etapa 10.2

Subtraia $180$ de $- 24$ .

$- 204$

Etapa 11

$x = - \frac{1}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1}{2}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = 8 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (- \frac{1}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (- \frac{1}{8}) - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{8}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (\frac{- 1}{8}) - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = 8 (\frac{- 1}{8}) - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 90 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 90 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 90 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 90 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.8

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 90 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 90 \frac{1}{2^{2}} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 90 (\frac{1}{4}) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.11.1

Fatore $2$ de $- 90$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 2 (- 45) (\frac{1}{4}) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.11.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 2 \cdot (- 45 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.11.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + 2 \cdot (- 45 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.11.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - 45 (\frac{1}{2}) - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.12

Combine $- 45$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 + \frac{- 45}{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{45}{2} - 96 (- \frac{1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.14

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.14.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{45}{2} - 96 (\frac{- 1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.14.2

Fatore $2$ de $- 96$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{45}{2} + 2 (- 48) (\frac{- 1}{2}) + 5$

Etapa 12.2.1.14.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{45}{2} + 2 \cdot (- 48 (\frac{- 1}{2})) + 5$

Etapa 12.2.1.14.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{45}{2} - 48 \cdot - 1 + 5$

Etapa 12.2.1.15

Multiplique $- 48$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1 - \frac{45}{2} + 48 + 5$

Etapa 12.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{1} - \frac{45}{2} + 48 + 5$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{45}{2} + 48 + 5$

Etapa 12.2.2.3

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{45}{2} + 48 + 5$

Etapa 12.2.2.4

Escreva $48$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{45}{2} + \frac{48}{1} + 5$

Etapa 12.2.2.5

Multiplique $\frac{48}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{45}{2} + \frac{48}{1} \cdot \frac{2}{2} + 5$

Etapa 12.2.2.6

Multiplique $\frac{48}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{45}{2} + \frac{48 \cdot 2}{2} + 5$

Etapa 12.2.2.7

Escreva $5$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{45}{2} + \frac{48 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1}$

Etapa 12.2.2.8

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{45}{2} + \frac{48 \cdot 2}{2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 12.2.2.9

Multiplique $\frac{5}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{45}{2} + \frac{48 \cdot 2}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 45 + 48 \cdot 2 + 5 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 45 + 48 \cdot 2 + 5 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.4.2

Multiplique $48$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 45 + 96 + 5 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.4.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 - 45 + 96 + 10}{2}$

Etapa 12.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 12.2.5.1

Subtraia $45$ de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 47 + 96 + 10}{2}$

Etapa 12.2.5.2

Some $- 47$ e $96$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{49 + 10}{2}$

Etapa 12.2.5.3

Some $49$ e $10$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{59}{2}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é $\frac{59}{2}$ .

$y = \frac{59}{2}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 (8) - 180$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $48$ por $8$ .

$384 - 180$

Etapa 14.2

Subtraia $180$ de $384$ .

$204$

Etapa 15

$x = 8$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 8$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 8$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = 8 {(8)}^{3} - 90 {(8)}^{2} - 96 \cdot 8 + 5$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Multiplique $8$ por ${(8)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.2.1.1.1

Multiplique $8$ por ${(8)}^{3}$ .

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Etapa 16.2.1.1.1.1

Eleve $8$ à potência de $1$ .

$f (8) = 8 {(8)}^{3} - 90 {(8)}^{2} - 96 \cdot 8 + 5$

Etapa 16.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (8) = 8^{1 + 3} - 90 {(8)}^{2} - 96 \cdot 8 + 5$

Etapa 16.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f (8) = 8^{4} - 90 {(8)}^{2} - 96 \cdot 8 + 5$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$f (8) = 4096 - 90 {(8)}^{2} - 96 \cdot 8 + 5$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (8) = 4096 - 90 \cdot 64 - 96 \cdot 8 + 5$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 90$ por $64$ .

$f (8) = 4096 - 5760 - 96 \cdot 8 + 5$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $- 96$ por $8$ .

$f (8) = 4096 - 5760 - 768 + 5$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 16.2.2.1

Subtraia $5760$ de $4096$ .

$f (8) = - 1664 - 768 + 5$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $768$ de $- 1664$ .

$f (8) = - 2432 + 5$

Etapa 16.2.2.3

Some $- 2432$ e $5$ .

$f (8) = - 2427$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 2427$ .

$y = - 2427$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 8 x^{3} - 90 x^{2} - 96 x + 5$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{59}{2})$ é um máximo local

$(8, - 2427)$ é um mínimo local

Etapa 18