Cálculo Exemplos

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

Etapa 1

Escreva $y = \cot (12 π x - 3 x)$ como uma função.

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $12 π x - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $12 π x - 3 x$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 π x - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.2.2

Como $12 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 π x$ em relação a $x$ é $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.2.4

Multiplique $12$ por $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 2.2.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Como $- (12 π - 3)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ em relação a $x$ é $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (12 π x - 3 x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.6

Eleve $\csc (12 π x - 3 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.7

Eleve $\csc (12 π x - 3 x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Etapa 3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 π x - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Etapa 3.11

Como $12 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 π x$ em relação a $x$ é $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Etapa 3.13

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Etapa 3.14

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

Etapa 3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Etapa 3.16

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Etapa 3.17

Eleve $12 π - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Etapa 3.18

Eleve $12 π - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Etapa 3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Etapa 3.20

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Etapa 3.21

Reordene os fatores de $2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

Etapa 5

Divida cada termo em $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ por $- 12 π + 3$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ por $- 12 π + 3$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $12 π - 3$ e $- 12 π + 3$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $3$ de $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1.2.1

Fatore $3$ de $- 12 π$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.1.2.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.1.2.3

Fatore $3$ de $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $4 π - 1$ e $- 4 π + 1$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $- 1$ de $4 π$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.2.3

Fatore $- 1$ de $- (- 4 π) - 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva $- (- 4 π + 1)$ como $- 1 (- 4 π + 1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.2.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.2.6

Divida $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ por $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ .

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ por $1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $- 12 π + 3$ .

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Etapa 5.3.1.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

Etapa 5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 12 π$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

Etapa 5.3.1.2.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

Etapa 5.3.1.2.3

Fatore $3$ de $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

Etapa 5.3.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

Etapa 5.3.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

Etapa 5.3.2

Divida $0$ por $- 4 π + 1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

Etapa 6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

Etapa 7.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

Etapa 8

O intervalo da cossecante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x =$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Avalie $\csc (12 π - 3)$ .

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.1

Eleve $- 7.08616739$ à potência de $2$ .

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.2.2

Multiplique $2$ por $50.21376836$ .

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.2.3

Reescreva ${(12 π - 3)}^{2}$ como $(12 π - 3) (12 π - 3)$ .

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.3

Expanda $(12 π - 3) (12 π - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.1.1

Multiplique $12 π (12 π)$ .

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Etapa 10.4.1.1.1

Multiplique $12$ por $12$ .

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.1.1.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.1.1.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.1.2

Multiplique $- 3$ por $12$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.1.3

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.4.2

Subtraia $36 π$ de $- 36 π$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.5

Multiplique $100.42753672$ por $144 π^{2} - 72 π + 9$ .

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

Etapa 10.6

Avalie $\cot (12 π - 3)$ .

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

Etapa 10.7

Multiplique $120917.6026078$ por $7.01525255$ .

$848267.52020773$

Etapa 11

$x =$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x =$ é um mínimo local

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ é um mínimo local

Etapa 13