Cálculo Exemplos

$y = x (81 - x) (54 - x)$

Etapa 1

Escreva $y = x (81 - x) (54 - x)$ como uma função.

$f (x) = x (81 - x) (54 - x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (81 - x)$ e $g (x) = 54 - x$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $54 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2.2

Como $54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $54$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.2.6.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 81 - x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $81 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.2

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.6.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Etapa 2.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.8.1

Multiplique $81 - x$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Etapa 2.4.8.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Etapa 2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.7

Some $1$ e $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.8

Multiplique $- 2$ por $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.13

Some $1$ e $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.14

Multiplique $54$ por $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Etapa 2.5.5.15

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Etapa 2.5.5.16

Subtraia $81 x$ de $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Etapa 2.5.5.17

Subtraia $189 x$ de $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Etapa 2.5.5.18

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 270 x + 4374$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 270 x] + \frac{d}{d x} [4374]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 270 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 270$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 270 x$ em relação a $x$ é $- 270 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4374)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4374)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 270$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + \frac{d}{d x} (4374)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $4374$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4374$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $6 x - 270$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (81 - x)$ e $g (x) = 54 - x$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $54 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2.2

Como $54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $54$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.2.6.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 81 - x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $81 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.2

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81$ em relação a $x$ é $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.6.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Etapa 5.1.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.8.1

Multiplique $81 - x$ por $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Etapa 5.1.4.8.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Etapa 5.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Etapa 5.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Etapa 5.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Etapa 5.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.5.1

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.7

Some $1$ e $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.8

Multiplique $- 2$ por $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.13

Some $1$ e $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.14

Multiplique $54$ por $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Etapa 5.1.5.5.15

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Etapa 5.1.5.5.16

Subtraia $81 x$ de $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Etapa 5.1.5.5.17

Subtraia $189 x$ de $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Etapa 5.1.5.5.18

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 270 x + 4374$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 270 x + 4374$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Etapa 6.2

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 270 x + 4374$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 270 x + 4374 = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $3$ de $- 270 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 90 x) + 4374 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $3$ de $4374$ .

$3 x^{2} + 3 (- 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Etapa 6.2.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 90 x)$ .

$3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Etapa 6.2.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458$ .

$3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x^{2} - 90 x + 1458$ por $1$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = 0$

Etapa 6.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 90$ e $c = 1458$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{90 \pm \sqrt{{(- 90)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1458)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.1

Eleve $- 90$ à potência de $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.3

Subtraia $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.4

Reescreva $2268$ como $18^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1.4.1

Fatore $324$ de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.4.2

Reescreva $324$ como $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Etapa 6.6.3

Simplifique $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Etapa 6.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Eleve $- 90$ à potência de $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.3

Subtraia $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.4

Reescreva $2268$ como $18^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.4.1

Fatore $324$ de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.4.2

Reescreva $324$ como $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Etapa 6.7.3

Simplifique $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Etapa 6.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$

Etapa 6.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.1

Eleve $- 90$ à potência de $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.8.1.3

Subtraia $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.8.1.4

Reescreva $2268$ como $18^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.4.1

Fatore $324$ de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.8.1.4.2

Reescreva $324$ como $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Etapa 6.8.3

Simplifique $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Etapa 6.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$

Etapa 6.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (45 + 9 \sqrt{7}) - 270$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cdot 45 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Etapa 10.1.2

Multiplique $6$ por $45$ .

$270 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Etapa 10.1.3

Multiplique $9$ por $6$ .

$270 + 54 \sqrt{7} - 270$

Etapa 10.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $270$ de $270$ .

$0 + 54 \sqrt{7}$

Etapa 10.2.2

Some $0$ e $54 \sqrt{7}$ .

$54 \sqrt{7}$

Etapa 11

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $45 + 9 \sqrt{7}$ na expressão.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - (45 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.1.2

Subtraia $45$ de $81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.2

Expanda $(45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 (36 - 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.1

Multiplique $45$ por $36$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.2

Multiplique $- 9$ por $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.3

Multiplique $36$ por $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.4

Multiplique $9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.4.1

Multiplique $- 9$ por $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.1.6

Multiplique $- 81$ por $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.2

Subtraia $567$ de $1620$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.3.3

Some $- 405 \sqrt{7}$ e $324 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (9 \sqrt{7}))$

Etapa 12.2.4.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.4.2

Subtraia $45$ de $54$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.5

Expanda $(1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 - 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1.1

Multiplique $1053$ por $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.6.1.2

Multiplique $- 9$ por $1053$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.6.1.3

Multiplique $9$ por $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Etapa 12.2.6.1.4

Multiplique $- 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1.4.1

Multiplique $- 9$ por $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Etapa 12.2.6.1.4.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Etapa 12.2.6.1.4.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Etapa 12.2.6.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Etapa 12.2.6.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Etapa 12.2.6.1.5

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 12.2.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 12.2.6.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Etapa 12.2.6.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Etapa 12.2.6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Etapa 12.2.6.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Etapa 12.2.6.1.6

Multiplique $729$ por $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 5103$

Etapa 12.2.6.2

Some $9477$ e $5103$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7}$

Etapa 12.2.6.3

Subtraia $729 \sqrt{7}$ de $- 9477 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Etapa 12.2.7

A resposta final é $14580 - 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (45 - 9 \sqrt{7}) - 270$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cdot 45 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Etapa 14.1.2

Multiplique $6$ por $45$ .

$270 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 9$ por $6$ .

$270 - 54 \sqrt{7} - 270$

Etapa 14.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $270$ de $270$ .

$0 - 54 \sqrt{7}$

Etapa 14.2.2

Subtraia $54 \sqrt{7}$ de $0$ .

$- 54 \sqrt{7}$

Etapa 15

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $45 - 9 \sqrt{7}$ na expressão.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - (45 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.1.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.1.2

Subtraia $45$ de $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.2

Expanda $(45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 (36 + 9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1.1

Multiplique $45$ por $36$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.2

Multiplique $9$ por $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.3

Multiplique $36$ por $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.4

Multiplique $- 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1.4.1

Multiplique $9$ por $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.1.6

Multiplique $- 81$ por $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.2

Subtraia $567$ de $1620$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.3.3

Subtraia $324 \sqrt{7}$ de $405 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Etapa 16.2.4.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 + 9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.4.2

Subtraia $45$ de $54$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.5

Expanda $(1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 + 9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.6.1.1

Multiplique $1053$ por $9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.6.1.2

Multiplique $9$ por $1053$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.6.1.3

Multiplique $9$ por $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Etapa 16.2.6.1.4

Multiplique $81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.6.1.4.1

Multiplique $9$ por $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Etapa 16.2.6.1.4.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Etapa 16.2.6.1.4.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Etapa 16.2.6.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Etapa 16.2.6.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Etapa 16.2.6.1.5

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 16.2.6.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 16.2.6.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Etapa 16.2.6.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.6.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Etapa 16.2.6.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Etapa 16.2.6.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Etapa 16.2.6.1.6

Multiplique $729$ por $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 5103$

Etapa 16.2.6.2

Some $9477$ e $5103$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7}$

Etapa 16.2.6.3

Some $9477 \sqrt{7}$ e $729 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Etapa 16.2.7

A resposta final é $14580 + 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x (81 - x) (54 - x)$ .

$(45 + 9 \sqrt{7}, 14580 - 10206 \sqrt{7})$ é um mínimo local

$(45 - 9 \sqrt{7}, 14580 + 10206 \sqrt{7})$ é um máximo local

Etapa 18