Cálculo Exemplos

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Etapa 1

Escreva $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ como uma função.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 250$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ em relação a $x$ é $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 25}$ como ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Etapa 2.2.6

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Etapa 2.2.7

Some $2 x$ e $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Etapa 2.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Etapa 2.2.9

Multiplique $- 2$ por $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Etapa 2.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine $500$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ e $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $500$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ em relação a $x$ é $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.7

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.8

Multiplique ${(x^{2} + 25)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.9

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.11

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.15

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.16

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.16.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.16.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.17

Fatore $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.17.1

Fatore $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.17.2

Fatore $x^{2} + 25$ de $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.17.3

Fatore $x^{2} + 25$ de $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.18

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.19

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.19.1

Fatore $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.19.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.19.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.20

Combine $500$ e $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 3$ por $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $500$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Etapa 3.4.2.3

Some $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.3

Fatore $500$ de $- 1500 x^{2} + 12500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $500$ de $- 1500 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $500$ de $12500$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $500$ de $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.5

Reescreva $25$ como $- 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.7

Reescreva $- (3 x^{2} - 25)$ como $- 1 (3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $- 250$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ em relação a $x$ é $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 25}$ como ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Etapa 5.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Etapa 5.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Etapa 5.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Etapa 5.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Etapa 5.1.2.6

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Etapa 5.1.2.7

Some $2 x$ e $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Etapa 5.1.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Etapa 5.1.2.9

Multiplique $- 2$ por $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Etapa 5.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.2.1

Combine $500$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Etapa 5.1.3.2.2

Combine $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ e $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Etapa 6.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 5, - 1.47798871$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $3$ por $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 10.1.3

Subtraia $25$ de $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Some $25$ e $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $50$ à potência de $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

Etapa 10.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $500$ por $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum de $25000$ e $125000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Fatore $25000$ de $25000$ .

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

Etapa 10.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Fatore $25000$ de $125000$ .

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Etapa 10.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Etapa 10.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{5}$

Etapa 11

$x = - 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

Etapa 12.2.1.1.2

Some $25$ e $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

Etapa 12.2.1.2

Divida $250$ por $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Etapa 12.2.2

Subtraia $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 10$ .

$y = - 10$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 1.47798871$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $- 1.47798871$ à potência de $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $3$ por $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 14.1.3

Subtraia $25$ de $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Eleve $- 1.47798871$ à potência de $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

Etapa 14.2.2

Some $2.18445063$ e $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

Etapa 14.2.3

Eleve $27.18445063$ à potência de $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 14.3.1

Multiplique $500$ por $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

Etapa 14.3.2

Divida $- 9223.32404202$ por $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

Etapa 14.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

Etapa 15

$x = - 1.47798871$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1.47798871$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 1.47798871$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.47798871$ na expressão.

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1

Eleve $- 1.47798871$ à potência de $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

Etapa 16.2.1.1.2

Some $2.18445063$ e $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

Etapa 16.2.1.2

Divida $250$ por $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

Etapa 16.2.2

Subtraia $9.19643377$ de $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ é um máximo local

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ é um mínimo local

Etapa 18