Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x}$ , $[0, 8]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 8]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (\int_{0}^{8} 5 \sqrt[3]{x} d x)$

Etapa 5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}))$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8}))$

Etapa 8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ em $8$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.5

Multiplique $3$ por $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.6

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.6.1

Fatore $4$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.6.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.6.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.7

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Etapa 8.2.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Etapa 8.2.2.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.2.2.9.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Etapa 8.2.2.9.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4}))$

Etapa 8.2.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4}))$

Etapa 8.2.2.11

Multiplique $3$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{4}))$

Etapa 8.2.2.12

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.12.1

Fatore $4$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 (0)}{4}))$

Etapa 8.2.2.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.12.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Etapa 8.2.2.12.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Etapa 8.2.2.12.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{1}))$

Etapa 8.2.2.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - 0))$

Etapa 8.2.2.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 + 0))$

Etapa 8.2.2.14

Some $12$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \cdot 12)$

Etapa 8.2.2.15

Multiplique $5$ por $12$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (60)$

Etapa 9

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 + 0} \cdot 60$

Etapa 9.2

Some $8$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot 60$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 (2)} \cdot 60$

Etapa 10.1.2

Fatore $4$ de $60$ .

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Etapa 10.1.3

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Etapa 10.1.4

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 15$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $15$ .

$A (x) = \frac{15}{2}$

Etapa 11