Cálculo Exemplos

$f (x) = 49 - x^{2}$ , $[- 7, 7]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 7, 7]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\int_{- 7}^{7} 49 - x^{2} d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\int_{- 7}^{7} 49 d x + \int_{- 7}^{7} - x^{2} d x)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} + \int_{- 7}^{7} - x^{2} d x)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - \int_{- 7}^{7} x^{2} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 7}^{7}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 7}^{7}))$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $49 x$ em $7$ e em $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} ((49 \cdot 7) - 49 \cdot - 7 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 7}^{7}))$

Etapa 9.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $7$ e em $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 \cdot 7 - 49 \cdot - 7 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3

Simplifique.

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Etapa 9.2.3.1

Multiplique $49$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (343 - 49 \cdot - 7 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.2

Multiplique $- 49$ por $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (343 + 343 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.3

Some $343$ e $343$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.4

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.3.5

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} - \frac{- 343}{3}))$

Etapa 9.2.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + \frac{343}{3}))$

Etapa 9.2.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + 1 (\frac{343}{3})))$

Etapa 9.2.3.8

Multiplique $\frac{343}{3}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + \frac{343}{3}))$

Etapa 9.2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - \frac{343 + 343}{3})$

Etapa 9.2.3.10

Some $343$ e $343$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - \frac{686}{3})$

Etapa 9.2.3.11

Para escrever $686$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 \cdot \frac{3}{3} - \frac{686}{3})$

Etapa 9.2.3.12

Combine $686$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{686 \cdot 3}{3} - \frac{686}{3})$

Etapa 9.2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{686 \cdot 3 - 686}{3})$

Etapa 9.2.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.3.14.1

Multiplique $686$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{2058 - 686}{3})$

Etapa 9.2.3.14.2

Subtraia $686$ de $2058$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{1372}{3})$

Etapa 10

Some $7$ e $7$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{1372}{3}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $14$ .

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Etapa 11.1

Fatore $14$ de $1372$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 (98)}{3}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 \cdot 98}{3}$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{98}{3}$

Etapa 12