Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9$ , $(- 3, 5)$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 3, 5]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x + 9 d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (\int_{- 3}^{5} 2 x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \int_{- 3}^{5} x^{3} d x + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 6 x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 9

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 \int_{- 3}^{5} x^{2} d x + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - 48 x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 12

Como $- 48$ é constante com relação a $x$ , mova $- 48$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 14

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 9 d x)$

Etapa 15

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{5}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Etapa 16

Substitua e simplifique.

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Etapa 16.1

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $5$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 ((\frac{5^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Etapa 16.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $5$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Etapa 16.3

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $5$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 x]_{- 3}^{5})$

Etapa 16.4

Avalie $9 x$ em $5$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{5^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5

Simplifique.

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Etapa 16.5.1

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.2

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625}{4} - \frac{81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{625 - 81}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.4

Subtraia $81$ de $625$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{544}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.5

Cancele o fator comum de $544$ e $4$ .

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Etapa 16.5.5.1

Fatore $4$ de $544$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.5.5.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 (1)}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{4 \cdot 136}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 (\frac{136}{1}) - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.5.2.4

Divida $136$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (2 \cdot 136 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.6

Multiplique $2$ por $136$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.7

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.8

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.9

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

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Etapa 16.5.9.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.5.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.9.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.9.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.9.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.10

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.11

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.12

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.5.14.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 \frac{125 + 27}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.14.2

Some $125$ e $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 6 (\frac{152}{3}) - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.15

Combine $- 6$ e $\frac{152}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 6 \cdot 152}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.16

Multiplique $- 6$ por $152$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 912}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.17

Cancele o fator comum de $- 912$ e $3$ .

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Etapa 16.5.17.1

Fatore $3$ de $- 912$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.5.17.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 (1)} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.17.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{3 \cdot - 304}{3 \cdot 1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.17.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 + \frac{- 304}{1} - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.17.2.4

Divida $- 304$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (272 - 304 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.18

Subtraia $304$ de $272$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.19

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.20

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{25 - 9}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.22

Subtraia $9$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{16}{2}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.23

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 16.5.23.1

Fatore $2$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.23.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.5.23.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.23.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.23.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 (\frac{8}{1}) + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.23.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 48 \cdot 8 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.24

Multiplique $- 48$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 32 - 384 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.25

Subtraia $384$ de $- 32$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 9 \cdot 5 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.26

Multiplique $9$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 - 9 \cdot - 3)$

Etapa 16.5.27

Multiplique $- 9$ por $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 45 + 27)$

Etapa 16.5.28

Some $45$ e $27$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 416 + 72)$

Etapa 16.5.29

Some $- 416$ e $72$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 3} (- 344)$

Etapa 17

Some $5$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot - 344$

Etapa 18

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 18.1

Fatore $8$ de $- 344$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 (- 43))$

Etapa 18.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 43)$

Etapa 18.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = - 43$

Etapa 19