Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[- 1, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Etapa 1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\sqrt[3]{x}$

Etapa 1.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ em $1$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.3

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Etapa 6.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Etapa 6.2.5.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Etapa 6.2.6

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Etapa 6.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 6.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Etapa 6.2.9

Subtraia $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Etapa 6.2.10

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.1

Fatore $4$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Etapa 6.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 6.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 6.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Etapa 6.2.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$A (x) = 0$

Etapa 9